Упр.168 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\cos^2 x+\sqrt{3}\cos x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x\,(2\cos x+\sqrt{3})=0$$

Тогда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+\sqrt{3}=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$2\cos x+\sqrt{3}=0 \Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\; n,k\in \mathbb Z.$$

б) $$4\cos^2 x-3=0$$

$$\cos^2 x=\frac{3}{4}$$

Следовательно,

$$\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

в) $$\sqrt{3}\tg^2 x-3\tg x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt{3}\tg x\,(\tg x-\sqrt{3})=0$$

Тогда

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=\sqrt{3}.$$

1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

г) $$4\sin^2 x-1=0$$

$$\sin^2 x=\frac{1}{4}$$

Значит,

$$\sin x=\pm \frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$