Упр.167 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$3^{2vx}+3^{2vx-1}-3^{2vx-2}=11$$; б) $$5^{\sin^2(x)}-25^{\cos(x)}=0$$; в) $$2^{\sin^2(x)}+2^{\cos^2(x)}=3$$; г) $$3\cdot 9^{1/x}+6^{1/x}=2\cdot 4^{1/x}$$.

а) $$3^{2\sqrt{x}}+3^{2\sqrt{x}-1}-3^{2\sqrt{x}-2}=11$$

Вынесем $$3^{2\sqrt{x}-2}$$ за скобки:

$$3^{2\sqrt{x}-2}\left(9+3-1\right)=11$$

$$11\cdot 3^{2\sqrt{x}-2}=11$$

$$3^{2\sqrt{x}-2}=1$$

$$2\sqrt{x}-2=0$$

$$\sqrt{x}=1,\quad x=1$$

Ответ: $$1$$.

Ход решения

б) $$5^{\sin^2 x}-25^{\cos x}=0$$

$$5^{\sin^2 x}-5^{2\cos x}=0$$

$$5^{\sin^2 x}=5^{2\cos x}$$

Тогда

$$\sin^2 x=2\cos x$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:

$$1-\cos^2 x=2\cos x$$

$$\cos^2 x+2\cos x-1=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$y^2+2y-1=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8$$

$$y=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$$

С учётом $$-1\le \cos x\le 1$$ подходит только

$$\cos x=\sqrt{2}-1$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos(\sqrt{2}-1)+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\pm \arccos(\sqrt{2}-1)+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.

Ход решения

в) $$2^{\sin^2 x}+2^{\cos^2 x}=3$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, положим $$y=2^{\sin^2 x}$$. Тогда

$$2^{\cos^2 x}=2^{1-\sin^2 x}=\frac{2}{2^{\sin^2 x}}=\frac{2}{y}$$

Получаем уравнение

$$y+\frac{2}{y}=3$$

$$y^2-3y+2=0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=2$$.

1) $$2^{\sin^2 x}=1 \Rightarrow \sin^2 x=0 \Rightarrow x=\pi n$$.

2) $$2^{\sin^2 x}=2 \Rightarrow \sin^2 x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.

Объединяя, получаем

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ: $$\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$.

Ход решения

г) $$3\cdot 9^{1/x}+6^{1/x}=2\cdot 4^{1/x}$$

Пусть

$$t=\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}$$

Тогда

$$9^{1/x}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2/x}=t^2,\qquad 6^{1/x}=2\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}=2t,\qquad 4^{1/x}=2\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}\cdot \frac{2}{3}?$$

Удобнее переписать уравнение в виде

$$3\left(\frac{9}{4}\right)^{1/x}+\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}-2=0$$

Положим $$u=\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}$$. Тогда

$$3u^2+u-2=0$$

$$D=1+24=25$$

$$u_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad u_2=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}$$

Так как $$u=\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}>0$$, значение $$u=-1$$ не подходит. Остаётся

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{1/x}=\frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$$

Следовательно,

$$\frac{1}{x}=-1,\quad x=-1$$

Ответ: $$-1$$.