Упр.167 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда уравнение

$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$

примет вид

$$3t^2+2t-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac13,\qquad t_2=-1.$$

Тогда

$$\tg x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg \frac13+\pi k,\ k\in \mathbb Z,$$

$$\tg x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

Пусть теперь

$$\tg x-2\ctg x+1=0.$$

Используем формулу $$\ctg x=\frac{1}{\tg x}.$$ Тогда

$$\tg x-\frac{2}{\tg x}+1=0.$$

Умножим на $$\tg x$$:

$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$

Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда

$$t^2+t-2=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0.$$

Отсюда

$$t_1=1,\qquad t_2=-2.$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z,$$

$$\tg x=-2 \quad \Rightarrow \quad x=-\arctg 2+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=\arctg \frac13+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=-\arctg 2+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$