Упр.166 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$3\cdot4^x+2\cdot9^x=5\cdot6^x$$; б) $$8^x+18^x=2\cdot27^x$$; в) $$2\cdot25^x-5\cdot10^x+2\cdot4^x=0$$; г) $$3\cdot16^x+2\cdot81^x=5\cdot36^x$$.
а) $$3\cdot 4^x+2\cdot 9^x=5\cdot 6^x.$$
Разделим обе части на $$6^x$$:
$$3\left(\frac{4}{6}\right)^x+2\left(\frac{9}{6}\right)^x=5,$$
$$3\left(\frac{2}{3}\right)^x+2\left(\frac{3}{2}\right)^x=5.$$
Положим $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{1}{t}.$$ Получаем:
$$3t+\frac{2}{t}=5,$$
$$3t^2-5t+2=0,$$
$$\left(3t-2\right)\left(t-1\right)=0.$$
Отсюда $$t=\frac{2}{3}$$ или $$t=1.$$
Тогда
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1,$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1\Rightarrow x=0.$$
б) $$8^x+18^x=2\cdot 27^x.$$
Разделим на $$27^x$$:
$$\left(\frac{8}{27}\right)^x+\left(\frac{18}{27}\right)^x=2,$$
$$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x}+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=2.$$
Положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда
$$y^3+y-2=0,$$
$$y^3+y-2=y^3+2y-y-2=(y-1)(y^2+y+2)=0.$$
Так как $$y^2+y+2>0$$ при всех $$y,$$ то $$y=1.$$ Следовательно,
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1\Rightarrow x=0.$$
в) $$2\cdot 25^x-5\cdot 10^x+2\cdot 4^x=0.$$
Разделим на $$4^x$$:
$$2\left(\frac{25}{4}\right)^x-5\left(\frac{5}{2}\right)^x+2=0.$$
Положим $$t=\left(\frac{5}{2}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{25}{4}\right)^x=t^2.$$ Получаем:
$$2t^2-5t+2=0,$$
$$\left(2t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$
Отсюда $$t=\frac12$$ или $$t=2.$$ Значит,
$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=\frac12 \Rightarrow x=\log_{\frac52}\frac12=-\log_{\frac52}2,$$
$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=2 \Rightarrow x=\log_{\frac52}2.$$
г) $$3\cdot 16^x+2\cdot 81^x=5\cdot 36^x.$$
Разделим на $$36^x$$:
$$3\left(\frac{16}{36}\right)^x+2\left(\frac{81}{36}\right)^x=5,$$
$$3\left(\frac{4}{9}\right)^x+2\left(\frac{9}{4}\right)^x=5.$$
Положим $$t=\left(\frac{9}{4}\right)^x,$$ тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=\frac{1}{t}.$$ Получаем:
$$\frac{3}{t}+2t=5,$$
$$2t^2-5t+3=0,$$
$$\left(2t-3\right)\left(t-1\right)=0.$$
Отсюда $$t=\frac32$$ или $$t=1.$$ Тогда
$$\left(\frac{9}{4}\right)^x=\frac32 \Rightarrow x=\frac12,$$
$$\left(\frac{9}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Ответ
а) $$0; 1$$; б) $$0$$; в) $$-\log_{\frac52}2;\ \log_{\frac52}2$$; г) $$0;\ \frac12$$.
