Упр.166 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите формулу:
   а) $$\sin(?)=\frac{2\operatorname{tg}(?/2)}{1+\operatorname{tg}^2(?/2)}$$;
   б) $$\cos(?)=\frac{1-\operatorname{tg}^2(?/2)}{1+\operatorname{tg}^2(?/2)}$$;
   в) $$\operatorname{tg}(?)=\frac{2\operatorname{tg}(?/2)}{1-\operatorname{tg}^2(?/2)}$$;
   г) $$\operatorname{ctg}(?)=\frac{1-\operatorname{tg}^2(?/2)}{2\operatorname{tg}(?/2)}$$.

Положим $$t=\tg\frac{a}{2}.$$ Тогда

$$\sin a=2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}, \qquad \cos a=\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}.$$

Доказательство

1. Докажем, что

   $$\sin a=\frac{2\tg\frac{a}{2}}{1+\tg^2\frac{a}{2}}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{2\tg\frac{a}{2}}{1+\tg^2\frac{a}{2}}=\frac{2\frac{\sin\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}=\frac{2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}{\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}}=2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}=\sin a.$$

2. Докажем, что

   $$\cos a=\frac{1-\tg^2\frac{a}{2}}{1+\tg^2\frac{a}{2}}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{1-\tg^2\frac{a}{2}}{1+\tg^2\frac{a}{2}}=\frac{1-\frac{\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}{1+\frac{\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}=\frac{\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}+\sin^2\frac{a}{2}}=\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}=\cos a.$$

3. Докажем, что

   $$\tg a=\frac{2\tg\frac{a}{2}}{1-\tg^2\frac{a}{2}}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{2\tg\frac{a}{2}}{1-\tg^2\frac{a}{2}}=\frac{2\frac{\sin\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}}}{1-\frac{\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}=\frac{2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

4. Докажем, что

   $$\ctg a=\frac{1-\tg^2\frac{a}{2}}{2\tg\frac{a}{2}}.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{1-\tg^2\frac{a}{2}}{2\tg\frac{a}{2}}=\frac{1-\frac{\sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}{2\frac{\sin\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}}}=\frac{\cos^2\frac{a}{2}-\sin^2\frac{a}{2}}{2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a.$$

Все формулы доказаны.