Упр.166 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\cos^2 x+\sin x+1=0$$

Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x.$$ Тогда

$$2(1-\sin^2 x)+\sin x+1=0$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$t=\sin x.$$ Получаем

$$2t^2-t-1=0$$

$$\left(t-1\right)\left(2t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac12.$$

Тогда

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^k\frac{7\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 x+3\sin x=3$$

Заменим $$\cos^2 x$$ по формуле $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$1-\sin^2 x+3\sin x-3=0$$

$$\sin^2 x-3\sin x+2=0.$$

Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

$$t^2-3t+2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0.$$

Получаем $$t=1$$ или $$t=2$$. Но $$\sin x=2$$ невозможно, значит

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$4\cos x=4-\sin^2 x$$

Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$4\cos x=4-1+\cos^2 x$$

$$\cos^2 x-4\cos x+3=0.$$

Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда

$$t^2-4t+3=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0.$$

Получаем $$t=1$$ или $$t=3$$. Так как $$\cos x=3$$ невозможно, то

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$8\sin^2 x+\cos x+1=0$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$8(1-\cos^2 x)+\cos x+1=0$$

$$8\cos^2 x-\cos x-9=0.$$

Пусть $$t=\cos x.$$ Тогда

$$8t^2-t-9=0$$

$$\left(8t-9\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac98 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Значение $$t=\frac98$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$