Упр.165 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$9^{x^2-1}-36\cdot3^{x^2-3}+3=0$$;
   б) $$5^{3x+1}+34\cdot5^{2x}=7\cdot5^x$$;
   в) $$16^x-50\cdot2^{2x}=896$$;
   г) $$7^{4\sqrt{x}}-8\cdot7^{\sqrt{4x}}+7=0$$.

Положим в каждом пункте новую переменную и сведём уравнение к квадратному.

1. $$9^{x^2-1}-36\cdot 3^{x^2-3}+3=0$$

   Так как $$9^{x^2-1}=3^{2x^2-2}=\frac{1}{9}\cdot 3^{2x^2}$$ и $$3^{x^2-3}=\frac{1}{27}\cdot 3^{x^2},$$ получаем

   $$\frac{1}{9}\cdot 3^{2x^2}-36\cdot \frac{1}{27}\cdot 3^{x^2}+3=0.$$

   Умножим на $$9$$:

   $$3^{2x^2}-12\cdot 3^{x^2}+27=0.$$

   Обозначим $$t=3^{x^2}$$, тогда

   $$t^2-12t+27=0.$$

   $$D=12^2-4\cdot 27=36,$$

   $$t_1=\frac{12-6}{2}=3,\qquad t_2=\frac{12+6}{2}=9.$$

   Тогда

   $$3^{x^2}=3 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$

   $$3^{x^2}=9 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}.$$

2. $$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}=7\cdot 5^x$$

   Перепишем:

   $$5\cdot 5^{3x}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0.$$

   Вынесем $$5^x$$:

   $$5^x\left(5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7\right)=0.$$

   Так как $$5^x>0,$$ то

   $$5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7=0.$$

   Положим $$t=5^x$$. Тогда

   $$5t^2+34t-7=0.$$

   $$D=34^2+4\cdot 5\cdot 7=1296,$$

   $$t_1=\frac{-34-36}{10}=-7,\qquad t_2=\frac{-34+36}{10}=\frac{1}{5}.$$

   Так как $$t=5^x>0,$$ подходит только $$t=\frac{1}{5}.$$ Тогда

   $$5^x=5^{-1}\Rightarrow x=-1.$$

3. $$16^x-50\cdot 2^{2x}=896$$

   Так как $$16^x=2^{4x},$$ получаем

   $$2^{4x}-50\cdot 2^{2x}-896=0.$$

   Положим $$t=2^{2x}.$$ Тогда

   $$t^2-50t-896=0.$$

   $$D=50^2+4\cdot 896=6084,$$

   $$t_1=\frac{50-78}{2}=-14,\qquad t_2=\frac{50+78}{2}=64.$$

   Так как $$t=2^{2x}>0,$$ берём $$t=64=2^6.$$ Тогда

   $$2^{2x}=2^6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3.$$

4. $$7^{4\sqrt{x}}-8\cdot 7^{2\sqrt{x}}+7=0$$

   Положим $$t=7^{2\sqrt{x}}.$$ Тогда

   $$t^2-8t+7=0.$$

   $$D=8^2-4\cdot 7=36,$$

   $$t_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad t_2=\frac{8+6}{2}=7.$$

   Получаем:

   $$7^{2\sqrt{x}}=1 \Rightarrow 2\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$

   $$7^{2\sqrt{x}}=7 \Rightarrow 2\sqrt{x}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14.$$

Ответ: а) $$x=\pm 1,\ \pm \sqrt{2}$$; б) $$x=-1$$; в) $$x=3$$; г) $$x=0,\ \frac14$$.