Упр.165 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\frac{1}{\cos^4(x)}-\tan^4(x)=17$$; б) $$\tan(3x)-\tan(x)=2(\sin(4x)-\sin(2x))$$; в) $$3\left(\log(2;\sin(x))\right)^2+\log(2;1-\cos(2x))=2$$; г) $$2^{2\tan(x/2)-\cos(x)}=4$$.

а) $$\frac{1}{\cos^4 x}-\tg^4 x=17.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\sin^4 x}{\cos^4 x}=17,$$

$$\frac{(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)}{\cos^4 x}=17,$$

$$\frac{\cos^2 x(1+\sin^2 x)}{\cos^4 x}=17,$$

$$1+\sin^2 x=17\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

$$1+1-\cos^2 x=17\cos^2 x,$$

$$18\cos^2 x=2,$$

$$\cos^2 x=\frac{1}{9}.$$

Следовательно,

$$\cos x=\pm \frac{1}{3}.$$

Значит,

$$x=\pm \arccos \frac{1}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\tg 3x-\tg x=2(\sin 4x-\sin 2x).$$

Используем формулы:

$$\tg 3x-\tg x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x},$$

$$\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\sin x.$$

Тогда

$$\frac{\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x}{\cos 3x\cos x}=4\sin x\cos 3x.$$

По формуле разности синусов:

$$\sin 2x=4\sin x\cos 3x\cos x\cos 3x,$$

$$\sin 2x=2\sin 2x\cos^2 3x,$$

$$\sin 2x(2\cos^2 3x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos^2 3x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$2\cos^2 3x-1=0 \Rightarrow \cos 6x=0,$$

$$6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

С учётом области определения исходного уравнения получаем ответ:

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$3(\log_2 \sin x)^2+\log_2(1-\cos 2x)=2.$$

Так как $$1-\cos 2x=2\sin^2 x,$$ то

$$3(\log_2 \sin x)^2+\log_2(2\sin^2 x)=2.$$

Пусть $$y=\log_2 \sin x.$$ Тогда

$$3y^2+1+2y=2,$$

$$3y^2+2y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2+12=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}.$$

1) $$\log_2 \sin x=-1 \Rightarrow \sin x=\frac{1}{2},$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\log_2 \sin x=\frac{1}{3} \Rightarrow \sin x=2^{1/3}>1,$$

что невозможно.

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$2^{\,2\tg\frac{x}{2}-\cos x}=4.$$

Так как $$4=2^2,$$ то

$$2\tg\frac{x}{2}-\cos x=2.$$

Используем формулу

$$\cos x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{1+\tg^2\frac{x}{2}}.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$2y-\frac{1-y^2}{1+y^2}=2,$$

$$2y(1+y^2)-1+y^2=2(1+y^2),$$

$$2y^3-y^2+2y-3=0.$$

Проверяем корень $$y=1$$:

$$2-1+2-3=0.$$

Тогда

$$2y^3-y^2+2y-3=(y-1)(2y^2+y+3).$$

У квадратного множителя дискриминант отрицателен:

$$D=1-24<0,$$

значит, действительный корень только один: $$y=1.$$

Следовательно,

$$\tg\frac{x}{2}=1,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \arccos \frac{1}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$x=\pi n,\ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb{Z};$$

в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$