Упр.165 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Положим $$t=\cos x$$ или $$t=\sin x$$ и решим каждое уравнение как квадратное.

а)

$$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$6t^2+t-1=0$$

$$D=1+24=25$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12}$$

Получаем:

$$t_1=\frac13,\qquad t_2=-\frac12$$

Тогда

$$\cos x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

б)

$$2\sin^2 x+3\cos x=0$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$

$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$2t^2-3t-2=0$$

$$D=9+16=25$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$

Получаем:

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac12$$

Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1,1]$$. Поэтому

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

в)

$$4\cos^2 x-8\cos x+3=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$4t^2-8t+3=0$$

$$D=64-48=16$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm 4}{8}$$

Получаем:

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=\frac32$$

Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1,1]$$. Поэтому

$$\cos x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

г)

$$5\sin^2 x+6\cos x-6=0$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$5(1-\cos^2 x)+6\cos x-6=0$$

$$5\cos^2 x-6\cos x+1=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$5t^2-6t+1=0$$

$$D=36-20=16$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac15$$

Тогда

$$\cos x=1 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

$$\cos x=\frac15 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
г) $$x=2\pi n,\ n\in \mathbb Z;\quad x=\pm \arccos \frac15+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$