Упр.164 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$5^{3x}-2\cdot5^{3x-1}-3\cdot5^{3x-2}=60$$;
   б) $$4^x-3^{x-0{,}5}=3^{x+0{,}5}-2^{2x-1}$$;
   в) $$2^{5x-1}+2^{5x-2}+2^{5x-3}=896$$;
   г) $$5^{2x-1}+2^{2x}=5^{2x}-2^{2x+2}$$.

а) $$5^{3x}-2\cdot 5^{3x-1}-3\cdot 5^{3x-2}=60$$

$$5^{3x}-2\cdot \frac{1}{5}\cdot 5^{3x}-3\cdot \frac{1}{25}\cdot 5^{3x}=60$$

$$5^{3x}\left(1-\frac{2}{5}-\frac{3}{25}\right)=60$$

$$5^{3x}\cdot \frac{12}{25}=60,\qquad 5^{3x}=125$$

$$5^{3x}=5^3,\qquad 3x=3,\qquad x=1$$

Ответ: $$1$$.

б) $$4^x-3^{x-0,5}=3^{x+0,5}-2^{2x-1}$$

$$2^{2x}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3^x=\sqrt{3}\cdot 3^x-\frac{1}{2}\cdot 2^{2x}$$

$$\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot 3^x=\frac{3}{2}\cdot 2^{2x}$$

$$\frac{3^x}{3\sqrt{3}}=\frac{2^{2x}}{8}$$

$$3^{x-1,5}=2^{2x-3}$$

$$3^{x-1,5}=4^{x-1,5}$$

$$x-1,5=0,\qquad x=1,5$$

Ответ: $$1,5$$.

в) $$2^{5x-1}+2^{5x-2}+2^{5x-3}=896$$

$$\frac{1}{2}\cdot 2^{5x}+\frac{1}{4}\cdot 2^{5x}+\frac{1}{8}\cdot 2^{5x}=896$$

$$2^{5x}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)=896$$

$$2^{5x}\cdot \frac{7}{8}=896,\qquad 2^{5x}=1024$$

$$2^{5x}=2^{10},\qquad 5x=10,\qquad x=2$$

Ответ: $$2$$.

г) $$5^{2x-1}+2^{2x}=5^{2x}-2^{2x+2}$$

$$\frac{1}{5}\cdot 5^{2x}+2^{2x}=5^{2x}-4\cdot 2^{2x}$$

$$5\cdot 2^{2x}=\frac{4}{5}\cdot 5^{2x}$$

$$\frac{2^{2x}}{5^{2x}}=\frac{4}{25}$$

$$2^{2x-2}=5^{2x-2}$$

$$2x-2=0,\qquad x=1$$

Ответ: $$1$$.