Упр.164 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$|x|\sin(x)+x=0$$; б) $$v(\sin(x)-1)+2x=0$$; в) $$|x|\cos(x)-x=0$$; г) $$\left(\frac{vx+v(-x)}{2}\right)^2=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$.
а) Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и уравнение принимает вид
$$x\sin x+x=0,$$
$$x(\sin x+1)=0.$$
Так как $$x>0,$$ то $$x\neq 0,$$ значит
$$\sin x=-1,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем
$$-x\sin x+x=0,$$
$$x(1-\sin x)=0.$$
Так как $$x<0,$$ то $$x\neq 0,$$ значит
$$\sin x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$x=0,$$ то уравнение тоже выполняется.
Итак,
$$x=0,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Для существования корня нужно, чтобы
$$\sin x-1\ge 0.$$
Но всегда $$\sin x\le 1,$$ значит возможно только
$$\sin x=1.$$
Тогда
$$\sqrt{\sin x-1}=0,$$
и уравнение становится
$$2x=0,$$
откуда $$x=0.$$
Однако при $$x=0$$ имеем $$\sin 0-1=-1<0,$$ поэтому корней нет.
Следовательно, решений нет.
в) Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x\cos x-x=0,$$
$$x(\cos x-1)=0.$$
Так как $$x>0,$$ то $$x\neq 0,$$ значит
$$\cos x=1,$$
откуда
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x\cos x-x=0,$$
$$x(\cos x+1)=0.$$
Так как $$x<0,$$ то $$x\neq 0,$$ значит
$$\cos x=-1,$$
откуда
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$x=0,$$ то уравнение выполняется.
Итак,
$$x=0,\quad x=2\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Левая часть неотрицательна, так как стоит квадрат:
$$\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{-x}}{2}\right)^2\ge 0.$$
Для существования корней нужно одновременно
$$x\ge 0,\qquad -x\ge 0,$$
то есть
$$x=0.$$
Подставим:
$$\left(\frac{\sqrt{0}+\sqrt{-0}}{2}\right)^2=\sin\frac{0}{2},$$
$$0=0.$$
Следовательно, $$x=0$$ — решение.
Ответ
а) $$x=0,\; -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\varnothing.$$
в) $$x=0,\; 2\pi n,\; \pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=0.$$
