Упр.164 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$2t^2+t-1=0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Значит,

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

$$3t^2-5t-2=0.$$

Разложим на множители:

$$3t^2-5t-2=(3t+1)(t-2)=0.$$

Отсюда

$$t=-\frac13 \quad \text{или} \quad t=2.$$

Но $$\sin x$$ не может быть равен $$2$$, так как $$|\sin x|\le 1.$$

Остаётся

$$\sin x=-\frac13.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

$$2t^2-t-1=0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-t-1=(2t+1)(t-1)=0.$$

Отсюда

$$t=-\frac12 \quad \text{или} \quad t=1.$$

Значит,

$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) Пусть $$t=\sin x.$$ Тогда

$$4t^2+11t-3=0.$$

Разложим на множители:

$$4t^2+11t-3=(4t-1)(t+3)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac14 \quad \text{или} \quad t=-3.$$

Но $$\sin x$$ не может быть равен $$-3$$, так как $$|\sin x|\le 1.$$

Остаётся

$$\sin x=\frac14.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$