Упр.163 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$0{,}2^{x^2-16x-37{,}5}=5\sqrt{5}$$;
   б) $$2^{x^2-3}\cdot5^{x^2-3}=0{,}01\cdot\left(10^{x-1}\right)^3$$;
   в) $$2^{x^2-6x+0{,}5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}$$;
   г) $$\frac{6^{x^2}}{2^{-15}}=\frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$$.

а) $$0{,}2^{x^2-16x-37{,}5}=5\sqrt5.$$

Так как $$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$ а $$5\sqrt5=5^{1+\frac12}=5^{\frac32},$$ получаем

$$5^{-(x^2-16x-37{,}5)}=5^{\frac32}.$$

Тогда

$$-(x^2-16x-37{,}5)=\frac32,$$

$$x^2-16x-36=0.$$

$$D=16^2-4\cdot1\cdot(-36)=256+144=400.$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm20}{2}.$$

$$x_1=-2,\quad x_2=18.$$

Ответ: $$-2;\ 18.$$

б) $$2^{x^2-3}\cdot5^{x^2-3}=0{,}01\cdot(10^{x-1})^3.$$

Левая часть:

$$2^{x^2-3}\cdot5^{x^2-3}=(2\cdot5)^{x^2-3}=10^{x^2-3}.$$

Правая часть:

$$0{,}01\cdot(10^{x-1})^3=10^{-2}\cdot10^{3x-3}=10^{3x-5}.$$

Тогда

$$10^{x^2-3}=10^{3x-5},$$

$$x^2-3=3x-5,$$

$$x^2-3x+2=0.$$

$$D=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm1}{2}.$$

$$x_1=1,\quad x_2=2.$$

Ответ: $$1;\ 2.$$

в) $$2^{x^2-6x+0{,}5}=\frac1{16\sqrt2}.$$

Правая часть:

$$\frac1{16\sqrt2}=\frac1{2^4\cdot2^{1/2}}=2^{-4-\frac12}=2^{-\frac92}.$$

Значит,

$$2^{x^2-6x+0{,}5}=2^{-\frac92},$$

$$x^2-6x+0{,}5=-\frac92,$$

$$x^2-6x+5=0.$$

$$D=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16.$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm4}{2}.$$

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

Ответ: $$1;\ 5.$$

г) $$\frac{6^{x^2}}{2^{-15}}=\frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}.$$

Перенесём множители:

$$6^{x^2}\cdot6^{12-12x}=3^{-15}\cdot2^{-15}.$$

Так как $$3^{-15}\cdot2^{-15}=(2\cdot3)^{-15}=6^{-15},$$ то

$$6^{x^2+12-12x}=6^{-15}.$$

Следовательно,

$$x^2-12x+12=-15,$$

$$x^2-12x+27=0.$$

$$D=12^2-4\cdot1\cdot27=144-108=36.$$

$$x_{1,2}=\frac{12\pm6}{2}.$$

$$x_1=3,\quad x_2=9.$$

Ответ: $$3;\ 9.$$