Упр.163 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

1. а) $$3+2\sin(2x)=\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)$$; б) $$\operatorname{tg}(x)-\sin(x)=1-\operatorname{tg}(x)\sin(x)$$; в) $$\sin^2(x)+\sin^2(2x)=\sin^2(3x)$$; г) $$v(6\sin(x))-2\cos(x)=0$$.

а) $$3+2\sin 2x=\tg x+\ctg x.$$

Преобразуем правую часть:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.$$

Тогда

$$3+2\sin 2x=\frac{2}{\sin 2x}.$$

Пусть $$y=\sin 2x$$. Получаем:

$$3+2y=\frac{2}{y},$$

$$2y^2+3y-2=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$

$$y_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$

Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\sin 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg x-\sin x=1-\tg x\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=1-\frac{\sin x}{\cos x}\sin x,$$

$$\sin x-\sin x\cos x=\cos x-\sin^2 x,$$

$$\sin x(1+\sin x)=\cos x(1+\sin x).$$

Тогда

$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1+\sin x)=0.$$

Рассмотрим случаи:

1. $$\sin x-\cos x=0,$$ откуда $$\tg x=1,$$ значит $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
2. $$1+\sin x=0,$$ то есть $$\sin x=-1.$$ Но тогда $$\cos x=0,$$ а исходное уравнение не имеет смысла, так как $$\tg x$$ не определён.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x.$$

Перепишем:

$$\sin^2 x-\sin^2 3x+\sin^2 2x=0,$$

$$\bigl(\sin x-\sin 3x\bigr)\bigl(\sin x+\sin 3x\bigr)+\sin^2 2x=0.$$

Используем формулы:

$$\sin x-\sin 3x=-2\cos 2x\sin x,$$

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$-4\sin x\cos 2x\sin 2x\cos x+\sin^2 2x=0,$$

что удобно представить в виде

$$\sin 2x\bigl(\sin 2x-\sin 4x\bigr)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0,$$ значит $$x=\frac{\pi n}{2}.$$
2. $$\sin 2x=\sin 4x,$$ то есть $$2\cos 3x\sin(-x)=0,$$ откуда $$\cos 3x=0.$$ Тогда

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{6\sin x}-2\cos x=0.$$

Перенесём:

$$\sqrt{6\sin x}=2\cos x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$\cos x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$6\sin x=4\cos^2 x=4(1-\sin^2 x).$$

Получаем:

$$2\sin^2 x+3\sin x-2=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2+3y-2=0,$$

$$D=25,$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12.$$

Значение $$y=-2$$ не подходит. Остаётся

$$\sin x=\frac12.$$

С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\ \text{или}\ x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$