Упр.163 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin x \ge -\frac12,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{6}\right)$$ неравенство $$\sin x \ge -\frac12$$ выполняется при

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right].$$

б) $$\cos \frac{x}{2}>\frac{\sqrt3}{2},\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$

Пусть $$t=\frac{x}{2}.$$ Тогда $$t\in\left[-\frac{\pi}{4};0\right]$$ и

$$\cos t>\frac{\sqrt3}{2} \;\Rightarrow\; t\in\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right).$$

С учётом промежутка для $$t$$ получаем

$$t\in\left[-\frac{\pi}{4};0\right].$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

в) $$\tg x\ge -1,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right)$$

Так как на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$\tg x$$ возрастает, то

$$\tg x\ge -1 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac{\pi}{4}.$$

С учётом заданного промежутка получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right].$$

г) $$\sin 2x\le \frac{\sqrt2}{2},\quad x\in[0;\pi]$$

Пусть $$t=2x.$$ Тогда $$t\in[0;2\pi]$$ и

$$\sin t\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4};2\pi\right].$$

Тогда

$$x\in\left[0;\frac{\pi}{8}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{8};\pi\right].$$

Ответ

а) $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right]$$; б) $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; в) $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$; г) $$\left[0;\frac{\pi}{8}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{8};\pi\right].$$