Упр.162 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

1. а) $$\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)$$; б) $$\log_{0,5}(\sin(x))>1$$; в) $$\sin(x)+\cos(x)<1$$; г) $$\log_{\sqrt{2}}(\cos(x))>-1$$.

а) $$\sin x-\sqrt3\cos x>\sqrt3.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)>\sqrt3,$$

$$\cos\frac{\pi}{3}\sin x-\sin\frac{\pi}{3}\cos x>\frac{\sqrt3}{2},$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x-\frac{\pi}{3}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\log_{0{,}5}(\sin x)>1.$$

Так как основание логарифма $$0{,}5<1$$, то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$0<\sin x<\frac12.$$

Отсюда

$$2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

или

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin x+\cos x<1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)<1,$$

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x<\frac{1}{\sqrt2},$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{9\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x&lt{2\pi}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\log_{\sqrt2}(\cos x)>-1.$$

Так как основание $$\sqrt2>1$$, получаем

$$\cos x>(\sqrt2)^{-1}=\frac{1}{\sqrt2}.$$

С учётом области определения $$\cos x>0$$ имеем

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$