Упр.162 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}x\sqrt{x}+3y\sqrt{x}=36,\\ y\sqrt{y}+3x\sqrt{y}=28;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2\sqrt[3]{x}-2\sqrt[3]{y}=3\sqrt[6]{xy},\\ x-y=63;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}3x-\sqrt{xy}+2y=29,\\ 2x-\sqrt{xy}-y=20;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2-y^2}}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}},\\ x^3+2y^3=118.\end{cases}$$
а) Обозначим $$u=\sqrt{x},\quad v=\sqrt{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} u^3+3uv^2=36,\\ v^3+3u^2v=28. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=64,$$
то есть
$$(u+v)^3=64,\quad u+v=4.$$
Тогда $$v=4-u.$$ Подставим в первое уравнение:
$$u^3+3u(4-u)^2=36.$$
$$u^3+3u(16-8u+u^2)=36;$$
$$4u^3-24u^2+48u-36=0;$$
$$u^3-6u^2+12u-9=0.$$
Положим $$z=u$$. Тогда
$$z^3-6z^2+12z-9=0,$$
$$(z-3)(z^2-3z+3)=0.$$
Отсюда $$z=3$$, значит $$u=3$$, $$x=9$$. Тогда $$v=1$$, $$y=1$$.
Ответ: $$\left(9;\,1\right).$$
б) Пусть $$a=\sqrt[6]{x},\quad b=\sqrt[6]{y}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=a^2,\ \sqrt[3]{y}=b^2,\ \sqrt[6]{xy}=ab,$$ и первое уравнение перепишется так:
$$2a^2-2b^2=3ab.$$
С учётом $$x-y=63$$ получаем
$$a^6-b^6=63.$$
Из первого уравнения:
$$2a^2-3ab-2b^2=0.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$a$$:
$$D=9b^2+16b^2=25b^2,$$
$$a=\frac{3b\pm 5b}{4}.$$
Тогда возможны два случая:
- $$a=2b.$$ Тогда $$x=64y$$, и из $$x-y=63$$ получаем $$64y-y=63$$, значит $$y=1$$, $$x=64$$.
- $$a=-\dfrac{b}{2}.$$ Тогда $$x=\dfrac{y}{64}$$, и из $$x-y=63$$ получаем $$\dfrac{y}{64}-y=63$$, откуда $$y=-64$$, $$x=-1$$.
Ответ: $$(-1;\,-64),\ (64;\,1).$$
в) Обозначим $$s=\sqrt{xy}.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3x-s+2y=29,\\ 2x+s-y=20. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$5x+y=49,\quad y=49-5x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2x+\sqrt{x(49-5x)}-(49-5x)=20,$$
$$\sqrt{49x-5x^2}=69-7x.$$
Возведём в квадрат:
$$49x-5x^2=(69-7x)^2,$$
$$54x^2-1015x+4761=0.$$
$$D=1015^2-4\cdot 54\cdot 4761=1849=43^2.$$
Тогда
$$x_1=\frac{1015-43}{108}=9,\qquad x_2=\frac{1015+43}{108}=\frac{529}{54}.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=49-5\cdot 9=4,\qquad y_2=49-5\cdot \frac{529}{54}=\frac{1}{54}.$$
Ответ: $$\left(9;\,4\right),\ \left(\frac{529}{54};\,\frac{1}{54}\right).$$
г) Обозначим
$$a=\sqrt{x^2+y^2},\quad b=\sqrt{x^2-y^2}.$$
Тогда первое уравнение:
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{5+\sqrt7}{5-\sqrt7}.$$
После преобразований получаем
$$\frac{y^2}{x^2}=\frac{9}{16},$$
то есть
$$\frac{y}{x}=\pm \frac34.$$
Рассмотрим два случая.
- $$y=-\frac34x.$$ Тогда из $$x^3+2y^3=118$$ имеем
$$x^3+2\left(-\frac34x\right)^3=118,$$
$$x^3-\frac{27}{32}x^3=118,$$
$$\frac{5}{32}x^3=118,$$
$$x^3=\frac{3776}{5}.$$
Следовательно,
$$x=4\sqrt[3]{\frac{59}{5}},\qquad y=-3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}.$$
- $$y=\frac34x.$$ Тогда
$$x^3+2\left(\frac34x\right)^3=118,$$
$$x^3+\frac{27}{32}x^3=118,$$
$$\frac{59}{32}x^3=118,$$
$$x^3=64,$$
откуда $$x=4$$, $$y=3$$.
Ответ: $$\left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}};\,-3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right),\ (4;\,3).$$
