Упр.162 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\sin \frac{x}{4}\ge 2$$

$$\sin \frac{x}{4}\ge \frac23$$

Для функции $$\sin t$$ неравенство $$\sin t\ge \frac23$$ выполняется при

$$t\in \left[\arcsin \frac23+2\pi n;\ \pi-\arcsin \frac23+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$

Полагая $$t=\frac{x}{4},$$ получаем

$$x\in \left[4\arcsin \frac23+8\pi n;\ 4\pi-4\arcsin \frac23+8\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$4\cos \frac{x}{3}< -3$$

$$\cos \frac{x}{3}< -\frac34$$

Для функции $$\cos t$$ имеем

$$t\in \left(\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n;\ 2\pi-\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$x\in \left(3\arccos\left(-\frac34\right)+6\pi n;\ 6\pi-3\arccos\left(-\frac34\right)+6\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z.$$

в) $$5\tg 2x\le 3$$

$$\tg 2x\le \frac35$$

На каждом промежутке монотонности тангенса получаем

$$2x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \arctg \frac35+\pi n\right],\quad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x\in \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac12\arctg \frac35+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in \mathbb Z.$$

г) $$0{,}5\sin 4x<-0{,}2$$

$$\sin 4x<-\frac25$$

Для функции $$\sin t$$ имеем

$$t\in \left(\pi+\arcsin \frac25+2\pi n;\ 2\pi-\arcsin \frac25+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$x\in \left(\frac{\pi+\arcsin \frac25}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{2\pi-\arcsin \frac25}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in \left[4\arcsin \frac23+8\pi n;\ 4\pi-4\arcsin \frac23+8\pi n\right],\ n\in \mathbb Z;$$

б) $$x\in \left(3\arccos\left(-\frac34\right)+6\pi n;\ 6\pi-3\arccos\left(-\frac34\right)+6\pi n\right),\ n\in \mathbb Z;$$

в) $$x\in \left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac12\arctg \frac35+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in \mathbb Z;$$

г) $$x\in \left(\frac{\pi+\arcsin \frac25}{4}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{2\pi-\arcsin \frac25}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in \mathbb Z.$$