Упр.161 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

• а) $$|\cos(x)-1|?0{,}5$$; б) $$\sin(x)<\cos(x)$$; в) $$|\sin(2x)+\frac{1}{2}|? \frac{1}{2}$$; г) $$\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)>0$$.

а) $$| \cos x — 1 | \le 0{,}5$$

Так как $$1-\cos x \ge 0,$$ то

$$1-\cos x \le 0{,}5,$$

откуда

$$\cos x \ge \frac12.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin x < \cos x$$

Преобразуем:

$$\sin x-\cos x<0,$$

$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)<0,$$

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}<0,$$

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac{\sqrt2}{2}<0,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<0.$$

Тогда

$$-\pi+2\pi n

то есть

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n

в) $$\left|\sin 2x+\frac12\right|\le \frac12$$

Получаем двойное неравенство:

$$-\frac12\le \sin 2x+\frac12\le \frac12,$$

$$-1\le \sin 2x\le 0.$$

Значит,

$$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\tg x+\ctg x>0$$

Преобразуем:

$$\tg x+\frac{1}{\tg x}>0,$$

$$\frac{\tg^2 x+1}{\tg x}>0.$$

Так как $$\tg^2 x+1>0,$$ то нужно, чтобы

$$\tg x>0.$$

Следовательно,

$$\pi n

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n

в) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

г) $$\pi n