Упр.161 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. а) $$\begin{cases} x^2-y\sqrt{xy}=36, \\ y^2-x\sqrt{xy}=72; \end{cases}$$
2. б) $$\begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{6x}}=\frac{6}{2}, \\ xy-x-y=0. \end{cases}$$

а) Обозначим $$t=\sqrt{xy}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} x^2-yt=36,\\ y^2-xt=72. \end{cases}$$

Так как в решении ищутся действительные значения, удобно заметить, что при $$x<0$$ и $$y<0$$ имеем $$\sqrt{xy}=\sqrt{|x||y|}.$$ Тогда из системы получаем

$$\begin{cases} x^2-y\sqrt{xy}=36,\\ y^2-x\sqrt{xy}=72. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{x^2-y\sqrt{xy}}{y^2-x\sqrt{xy}}=\frac{36}{72}=\frac12.$$

Проверим соотношение $$y=4x.$$ Подставим его в первое уравнение:

$$x^2-4x\sqrt{x\cdot 4x}=36.$$

Так как $$x<0,$$ то $$\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x,$$ и тогда

$$x^2-4x\cdot(-2x)=36,$$

$$9x^2=36,\qquad x^2=4.$$

С учётом условия $$x<0$$ получаем $$x=-2,$$ тогда

$$y=4x=-8.$$

б) Обозначим

$$z=\sqrt{\frac{6x}{x+y}}.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{x+y}{6x}}=\frac1z,$$

и первое уравнение системы даёт

$$z+\frac1z=\frac52.$$

Умножим на $$z$$:

$$2z^2-5z+2=0.$$

Отсюда

$$D=25-16=9,\qquad z_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Значит,

$$z_1=\frac12,\qquad z_2=2.$$

Рассмотрим оба случая.

1. Если $$z=\frac12,$$ то

   $$\frac{6x}{x+y}=\frac14,\qquad 24x=x+y,\qquad y=23x.$$

   Подставим во второе уравнение $$xy-x-y=0$$:

   $$x\cdot 23x-x-23x=0,$$

   $$23x^2-24x=0,$$

   $$x(23x-24)=0.$$

   Получаем $$x=0$$ или $$x=\frac{24}{23}.$$ Значение $$x=0$$ не подходит, так как тогда выражения под корнями не определены. Поэтому

   $$x=\frac{24}{23},\qquad y=24.$$

2. Если $$z=2,$$ то

   $$\frac{6x}{x+y}=4,\qquad 6x=4x+4y,\qquad x=2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$2y^2-2y-y=0,$$

   $$2y^2-3y=0,$$

   $$y(2y-3)=0.$$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=\frac32.$$ Значение $$y=0$$ не подходит, поэтому

   $$y=\frac32,\qquad x=3.$$

Ответ

а) $$(-2;\,-8)$$;

б) $$\left(\frac{24}{23};\,24\right),\ (3;\,\frac32).$$