Упр.161 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем монотонность функции $$\ctg x$$ на каждом промежутке $$\left(\pi n;\,\pi(n+1)\right),\ n\in\mathbb Z.$$

Ход решения

1. $$\ctg x\ge \sqrt3$$

   Так как $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt3,$$ то на каждом промежутке монотонности получаем

   $$x\in\left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt3\,\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>1$$

   Делим на $$\sqrt3>0$$:

   $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как $$\ctg \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{3},$$ то

   $$\frac{\pi}{4}-2x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Решаем относительно $$x$$:

   $$-\frac{\pi}{12}-\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}.$$

   Переобозначая номер целого числа, получаем

   $$x\in\left(\frac{11\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg 3x\le -\frac{1}{\sqrt3}$$

   Так как $$\ctg \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt3},$$ то

   $$3x\in\left[\pi n+\frac{2\pi}{3};\,\pi(n+1)\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$3$$:

   $$x\in\left[\frac{\pi n}{3}+\frac{2\pi}{9};\,\frac{\pi n}{3}+\frac{\pi}{3}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Это можно записать и в виде

   $$x\in\left(\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$3\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)>-\sqrt3$$

   Делим на $$3>0$$:

   $$\ctg\left(\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\right)>-\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как $$\ctg \frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{3},$$ то

   $$\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2}\in\left(\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(\frac{11\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{5\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\right),\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$