Упр.160 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите неравенства: а) $$2\sin^2(x)?1$$; б) $$3\tg^2(2x)?1$$; в) $$4\cos^2(x)?3$$; г) $$\tg^2\left(\frac{x}{2}\right)?0$$.
а) $$2\sin^2 x \le 1$$
$$1-\cos 2x \le 1$$
$$\cos 2x \ge 0$$
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$-\frac{\pi}{4}+\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$3\tg^2 2x \le 1$$
$$\frac{1-\cos 4x}{1+\cos 4x}\le \frac13$$
$$3-3\cos 4x \le 1+\cos 4x$$
$$4\cos 4x \ge 2,\qquad \cos 4x \ge \frac12$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n$$
$$-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$4\cos^2 x \le 3$$
$$2(1+\cos 2x)\le 3$$
$$1+\cos 2x \le \frac32$$
$$\cos 2x \le \frac12$$
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{3}+2\pi n$$
$$\frac{\pi}{6}+\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$\tg^2\frac{x}{2}-1\ge 0$$
$$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\ge 1$$
$$1-\cos x \ge 1+\cos x$$
$$2\cos x \le 0$$
$$\cos x \le 0$$
С учётом области определения $$1+\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \pi+2\pi n$$, получаем
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad x\ne \pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]\setminus\{\pi+2\pi n\},\ n\in\mathbb Z$$.
