Упр.160 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}(x+2y)^{1/3}+(x-y+2)^{1/3}=3,\\2x+y=7;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2+2y+\sqrt{x^2+2y+1}=1,\\2x+y=2;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x-y+\sqrt{x^2-4y^2}=2,\\x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\frac{1}{x^{1/3}}-\frac{1}{y^{1/3}}=\frac{1}{6},\\(xy)^{1/3}=6.\end{cases}$$
а) Пусть $$a=\sqrt[3]{x+2y}$$ и $$b=\sqrt[3]{x-y+2}.$$ Тогда
$$a+b=3,$$
$$a^3+b^3=(x+2y)+(x-y+2)=2x+y+2=7+2=9.$$
По формуле суммы кубов:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),$$
значит
$$3(a^2-ab+b^2)=9,\quad a^2-ab+b^2=3.$$
Так как $$b=3-a,$$ получаем
$$a^2-a(3-a)+(3-a)^2=3,$$
$$3a^2-9a+6=0,$$
$$a^2-3a+2=0,$$
$$a=1 \text{ или } a=2.$$
1) Если $$a=1,$$ то $$b=2.$$ Тогда
$$x+2y=1,\quad x-y+2=8,$$
откуда $$x-y=6.$$ Решая систему
$$\begin{cases} x+2y=1,\\ x-y=6, \end{cases}$$
получаем $$y=-\frac{5}{3},\ x=\frac{13}{3}.$$
2) Если $$a=2,$$ то $$b=1.$$ Тогда
$$x+2y=8,\quad x-y+2=1,$$
откуда $$x-y=-1.$$ Решая систему
$$\begin{cases} x+2y=8,\\ x-y=-1, \end{cases}$$
получаем $$y=3,\ x=2.$$
Ответ: $$\left(\frac{13}{3};-\frac{5}{3}\right),\ (2;3).$$
б) Из второго уравнения имеем
$$2x+y=2,\quad y=2-2x.$$
Пусть $$z=\sqrt{x^2+2y+1}.$$ Тогда первое уравнение принимает вид
$$z^2+z=2,$$
$$z^2+z-2=0,$$
$$z=1 \text{ или } z=-2.$$
Так как $$z\ge 0,$$ то $$z=1.$$ Следовательно,
$$\sqrt{x^2+2y+1}=1,$$
$$x^2+2y+1=1,$$
$$x^2+2(2-2x)=0,$$
$$x^2-4x+4=0,$$
$$x=2,\quad y=2-2\cdot 2=-2.$$
Ответ: $$(2;-2).$$
в) Из первого уравнения
$$\sqrt{x^2-4y^2}=2-x+y.$$
Тогда из второго уравнения
$$x^5\sqrt{x^2-4y^2}=0$$
получаем два случая:
- $$x=0.$$ Тогда из первого уравнения
$$\sqrt{-4y^2}=2+y,$$
что невозможно, значит решений нет.
- $$\sqrt{x^2-4y^2}=0,$$ то есть $$x^2-4y^2=0.$$ Тогда из первого уравнения
$$2-x+y=0,\quad x=y+2.$$
Подставим в $$x^2-4y^2=0$$:
$$(y+2)^2-4y^2=0,$$
$$y^2+4y+4-4y^2=0,$$
$$3y^2-4y-4=0.$$
$$D=16+48=64,$$
$$y=\frac{4\pm 8}{6}.$$
Отсюда $$y=-\frac{2}{3}$$ или $$y=2.$$ Тогда
$$x=y+2,$$
получаем $$x=\frac{4}{3}$$ или $$x=4.$$
Ответ: $$\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right),\ (4;2).$$
г) Пусть $$a=\sqrt[3]{x}$$ и $$b=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{6},\qquad ab=6.$$
Из второго равенства $$b=\frac{6}{a}.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{a}-\frac{a}{6}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6a$$:
$$6-a^2=a,$$
$$a^2+a-6=0,$$
$$a=-3 \text{ или } a=2.$$
Тогда
$$b=\frac{6}{a},$$
откуда $$b=-2$$ или $$b=3.$$
Следовательно,
$$x=a^3,\quad y=b^3,$$
то есть
$$x=-27,\ y=-8$$
или
$$x=8,\ y=27.$$
Ответ: $$(-27;-8),\ (8;27).$$
