Упр.160 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin x\cos \frac{\pi}{6}-\cos x\sin \frac{\pi}{6}\le \frac12$$

По формуле синуса разности:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\le \frac12.$$

Положим $$t=x-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда нужно решить неравенство

$$\sin t\le \frac12.$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right].$$

С учётом периодичности синуса:

$$t\in\left[-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x-\frac{\pi}{6}\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$-\pi+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Ответ: $$\left[-\pi+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin \frac{\pi}{4}\cos x+\cos \frac{\pi}{4}\sin x<-\frac{\sqrt2}{2}$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Пусть $$t=x+\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$\sin t<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left(-\frac{3\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right).$$

С учётом периодичности:

$$t\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$-\pi+2\pi n<x<2\pi n.$$

Ответ: $$\left(-\pi+2\pi n;2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$4\sin 2x\cos 2x\ge \sqrt2$$

Используем формулу:

$$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x.$$

Тогда

$$2\sin 4x\ge \sqrt2,$$

то есть

$$\sin 4x\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$4x\in\left[\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на 4:

$$x\in\left[\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$\left[\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2};\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}\right],\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\cos \frac{\pi}{8}\cos x-\sin x\sin \frac{\pi}{8}<-\frac{\sqrt3}{2}$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{8}\right)<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Пусть $$t=x+\frac{\pi}{8}.$$ Тогда

$$\cos t<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$t\in\left(\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\right).$$

С учётом периодичности:

$$t\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x+\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{17\pi}{24}+2\pi n<x<\frac{25\pi}{24}+2\pi n.$$

Ответ: $$\left(\frac{17\pi}{24}+2\pi n;\frac{25\pi}{24}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$