Упр.16 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Дайте определения чётной и нечётной функций. Каким свойством обладают их графики?
- Выясните, какая из указанных ниже функций является чётной, а какая — нечётной:
а) $$y=\frac{\sin x}{x}$$;
б) $$y=x+x^5$$;
в) $$y=x\cos x$$;
г) $$y=3x^2+x^6$$. - Постройте график функции $$f$$, если известно, что:
а) $$f$$ — нечётная; $$f(x)=\cos x-1$$ при $$x\in(-\infty;0]$$;
б) $$f$$ — чётная; $$f(x)=(x-1)^3$$ при $$x\in[0;+\infty)$$;
в) $$f$$ — чётная; $$f(x)=\sin x$$ при $$x\in(-\infty;0]$$;
г) $$f$$ — чётная; $$f(x)=4x-x^2$$ при $$x\in[0;+\infty)$$.
1) Функция $$f$$ называется чётной, если для всех $$x$$ из её области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$.
Функция $$f$$ называется нечётной, если для любого $$x$$ из её области определения выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси $$Oy$$, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
2) Проверим чётность функций:
- $$y=\dfrac{\sin x}{x}$$
$$y(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{-\sin x}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}$$
Функция чётная. - $$y=x+x^5$$
$$y(-x)=(-x)+(-x)^5=-x-x^5=-\bigl(x+x^5\bigr)$$
Функция нечётная. - $$y=x\cos x$$
$$y(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-y(x)$$
Функция нечётная. - $$y=3x^2+x^6$$
$$y(-x)=3(-x)^2+(-x)^6=3x^2+x^6$$
Функция чётная.
3) Построим графики, используя чётность и нечётность функции.
- Если $$f$$ — нечётная и при $$x\le 0$$ задано $$f(x)=\cos x-1$$, то для $$x\ge 0$$:
$$f(x)=-f(-x)=-(\cos x-1)=1-\cos x.$$
График на положительной полуоси получается поворотом левой части на $$180^\circ$$ вокруг начала координат. - Если $$f$$ — чётная и при $$x\ge 0$$ задано $$f(x)=(x-1)^3$$, то для $$x\le 0$$:
$$f(x)=f(-x)=(-x-1)^3=-(x+1)^3.$$
График на отрицательной полуоси — зеркальное отражение правой части относительно оси $$Oy$$. - Если $$f$$ — чётная и при $$x\le 0$$ задано $$f(x)=\sin x$$, то для $$x\ge 0$$:
$$f(x)=f(-x)=\sin(-x)=-\sin x.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$. - Если $$f$$ — чётная и при $$x\ge 0$$ задано $$f(x)=4x-x^2$$, то для $$x\le 0$$:
$$f(x)=f(-x)=4(-x)-(-x)^2=-4x-x^2.$$
Левая часть графика — отражение правой относительно оси $$Oy$$.
Ответ: 1) чётная функция: $$f(-x)=f(x)$$, нечётная: $$f(-x)=-f(x)$$; график чётной функции симметричен относительно $$Oy$$, нечётной — относительно начала координат. 2) а) чётная; б) нечётная; в) нечётная; г) чётная. 3) графики строятся по формулам, полученным из чётности/нечётности: а) $$f(x)=1-\cos x$$ при $$x\ge 0$$; б) $$f(x)=-(x+1)^3$$ при $$x\le 0$$; в) $$f(x)=-\sin x$$ при $$x\ge 0$$; г) $$f(x)=-4x-x^2$$ при $$x\le 0$$.
