Упр.16 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Пусть дано рациональное число $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$n>0$$.
Выполним деление числителя на знаменатель. При этом возможны два случая:
- деление заканчивается, и тогда получается конечная десятичная дробь;
- деление не заканчивается.
Рассмотрим второй случай. При делении в десятичной записи на каждом шаге возникает некоторый остаток. Возможных остатков конечное число: они могут быть только целыми числами от $$0$$ до $$n-1$$. Значит, рано или поздно какой-то остаток повторится.
Если остаток повторился, то дальше процесс деления пойдёт точно так же, как и раньше: будут повторяться те же цифры в том же порядке. Следовательно, десятичная запись числа становится периодической.
Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Ответ
Любое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
