Упр.159 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\ ?\ \frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   б) $$\sqrt{3}\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ ?\ -1$$;
   в) $$\sin(2x)\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\cos(2x)\cos\left(\frac{x}{2}\right)>\frac{1}{2}$$;
   г) $$\sin(3x)\cos(x)+\sin(x)\cos(3x)\ ?\ \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

а) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\le \frac{\sqrt2}{2}.$$

Так как $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$ получаем

$$-\cos x\le \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos x\ge -\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt3\,\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ge -1.$$

Преобразуем:

$$-\sqrt3\,\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ge -1,$$

$$\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le \frac{\sqrt3}{3}.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x-\frac{\pi}{4}\le \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin 2x\sin\frac{x}{2}-\cos 2x\cos\frac{x}{2}>\frac12.$$

Используем формулу

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$-\cos\left(2x+\frac{x}{2}\right)>\frac12,$$

$$\cos\frac{5x}{2}<-\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<\frac{5x}{2}<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$\frac{4\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5}<x<\frac{8\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5},\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x=\sin(3x+x)=\sin 4x.$$

Тогда

$$\sin 4x\le \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n\le 4x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\frac{4\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5}<x<\frac{8\pi}{15}+\frac{4\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$