Упр.159 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   а) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}\sqrt{y}+\sqrt{x}\sqrt[3]{y}=12,\\xy=64;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{5}{2},\\x+y=5;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}=4,\\x+y=28;\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}=3,\\x^{\frac{2}{3}}-(xy)^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=2.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения имеем $$y=\frac{64}{x}.$$ Подставим в первое:

$$\sqrt[3]{x}\sqrt{\frac{64}{x}}+\sqrt{x}\sqrt[3]{\frac{64}{x}}=12.$$

Так как $$\sqrt[3]{64}=4,$$ получаем

$$8x^{\frac16}+4x^{\frac56}=12.$$

Положим $$t=x^{\frac16}.$$ Тогда

$$8t+4t^5=12,$$

или

$$2t+t^5=3.$$

Проверкой находим корни $$t=1$$ и $$t=2.$$ Тогда

$$x=t^6,$$

откуда $$x=1$$ или $$x=64.$$

Соответственно,

$$y=\frac{64}{x}$$

даёт $$y=64$$ или $$y=1.$$

Ответ: $$(1;64),\ (64;1).$$

б) Обозначим

$$z=\sqrt{\frac{x}{y}}.$$

Тогда $$\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{1}{z},$$ и первое уравнение принимает вид

$$z+\frac{1}{z}=\frac52.$$

Умножим на $$2z$$:

$$2z^2-5z+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad z_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1) Если $$z=\frac12,$$ то

$$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac12,\qquad \frac{x}{y}=\frac14,\qquad y=4x.$$

Из $$x+y=5$$ получаем

$$x+4x=5,\qquad x=1,\qquad y=4.$$

2) Если $$z=2,$$ то

$$\sqrt{\frac{x}{y}}=2,\qquad \frac{x}{y}=4,\qquad x=4y.$$

Из $$x+y=5$$ получаем

$$4y+y=5,\qquad y=1,\qquad x=4.$$

Ответ: $$(1;4),\ (4;1).$$

в) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y}.$$

Тогда система равносильна

$$a+b=4,\qquad a^3+b^3=28.$$

Используем формулу

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Получаем

$$4(a^2-ab+b^2)=28,$$

$$a^2-ab+b^2=7.$$

Так как $$a+b=4,$$ то

$$a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=16-3ab.$$

Следовательно,

$$16-3ab=7,\qquad ab=3.$$

Теперь числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-4t+3=0,$$

откуда

$$t_1=1,\qquad t_2=3.$$

Значит,

$$\{a,b\}=\{1,3\}.$$

Тогда

$$\{x,y\}=\{1^3,3^3\}=\{1,27\}.$$

Ответ: $$(1;27),\ (27;1).$$

г) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y}.$$

Тогда система имеет вид

$$a+b=3,\qquad a^2-ab+b^2=3.$$

Из первого уравнения $$b=3-a.$$ Подставим во второе:

$$a^2-a(3-a)+(3-a)^2=3.$$

Раскроем скобки:

$$a^2-3a+a^2+9-6a+a^2=3,$$

$$3a^2-9a+6=0,$$

$$a^2-3a+2=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$a_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad a_2=\frac{3+1}{2}=2.$$

Тогда

$$b_1=3-1=2,\qquad b_2=3-2=1.$$

Следовательно,

$$x=a^3,\qquad y=b^3,$$

и получаем пары

$$(x,y)=(1,8),\ (8,1).$$

Ответ: $$(1;8),\ (8;1).$$