Упр.158 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 2x<\frac12.$$

Значения функции $$\sin t$$ меньше $$\frac12$$ при

$$t\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Полагая $$t=2x$$, получаем

$$2x\in\left(-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x\in\left(-\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,\frac{\pi}{12}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos \frac{x}{3}>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Для косинуса имеем

$$\frac{x}{3}\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{\pi}{2}+6\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin \frac{x}{2}<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значения синуса меньше $$-\frac{\sqrt3}{2}$$ при

$$\frac{x}{2}\in\left(-\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\,-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\frac{4\pi}{3}+4\pi n;\,-\frac{2\pi}{3}+4\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\tg 5x>1.$$

Так как $$\tg t>1$$ при

$$t\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

то при $$t=5x$$ получаем

$$5x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5};\,\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } x\in\left(-\frac{7\pi}{12}+\pi n;\,\frac{\pi}{12}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{б) } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\,\frac{\pi}{2}+6\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{в) } x\in\left(-\frac{4\pi}{3}+4\pi n;\,-\frac{2\pi}{3}+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;\\ &\text{г) } x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5};\,\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\right),\ n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$