Упр.157 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения: а) $$\operatorname{tg}(3x)-\operatorname{tg}(x)=0$$; б) $$\operatorname{tg}(x)-\sin(x)=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$; в) $$\sin(x)\operatorname{tg}(x)=\cos(x)+\operatorname{tg}(x)$$; г) $$\sin(x)+\sin(2x)=\operatorname{tg}(x)$$.

а) $$\tg 3x-\tg x=0$$

$$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x}=0$$

$$\frac{\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x}{\cos x\cos 3x}=0$$

$$\sin(3x-x)=0,\quad \sin 2x=0$$

$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\pi n$$

б) $$\tg x-\sin x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=1-\cos x$$

$$\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}=1-\cos x$$

$$\sin x(1-\cos x)=\cos x(1-\cos x)$$

$$\bigl(\sin x-\cos x\bigr)(1-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=\cos x,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$\cos x=1,\quad x=2\pi n$$

в) $$\sin x\,\tg x=\cos x+\tg x$$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\sin^2 x=\cos^2 x+\sin x$$

$$\sin^2 x=1-\sin^2 x+\sin x$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

Пусть $$y=\sin x$$, тогда

$$2y^2-y-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\quad y_2=\frac{1+3}{4}=1$$

Тогда:

$$\sin x=1,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$\sin x=-\frac12,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

г) $$\sin x+\sin 2x=\tg x$$

$$\sin x+2\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\sin x\cos x+2\sin x\cos^2 x=\sin x$$

$$\sin x\,(2\cos^2 x+\cos x-1)=0$$

Пусть $$y=\cos x$$, тогда

$$2y^2+y-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_1=-1,\quad y_2=\frac12$$

Следовательно:

$$\sin x=0,\quad x=\pi n$$

$$\cos x=-1,\quad x=\pi+2\pi n$$

$$\cos x=\frac12,\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ x=\pi n$$;

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=2\pi n$$;

в) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$;

г) $$x=\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$