Упр.157 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

а) $$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}>\frac{35}{12};$$

б) $$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{25}{9}>\frac{3x^2+\frac{4}{9}}{2\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}}.$$

а) Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{35}{12}>0$$

$$\frac{1}{x}\left(x^2-\frac{35}{12}x+\frac{25}{12}\right)+\frac{x^2-\frac{25}{16}}{x\sqrt{x^2-1}}>0$$

$$\frac{1}{x}\left(x-\frac54\right)\left(x-\frac53\right)+ \frac{\left(x-\frac54\right)\left(x+\frac54\right)\left(x-\frac53\right)\left(x+\frac53\right)}{x\sqrt{x^2-1}\left(x^2+\frac{25}{12}\sqrt{x^2-1}\right)}>0$$

После преобразований получаем, что знак выражения определяется произведением

$$\left(x-\frac54\right)\left(x-\frac53\right)$$

при условиях $$x>1$$ и $$x\neq 0$$. Тогда

$$\left(x-\frac54\right)\left(x-\frac53\right)>0$$

Отсюда

$$x<\frac54 \quad \text{или} \quad x>\frac53.$$

С учётом области определения $$x>1$$ получаем

$$x\in\left(1;\frac54\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right).$$

б) Преобразуем неравенство:

$$\left(x-\frac13\right)^2-\frac{25}{9}>\frac{3x^2+\frac49}{2\left(x-\frac13\right)+\sqrt{x\left(x-\frac83\right)}}$$

Заметим, что

$$\left(x-\frac13\right)^2-\frac{25}{9}=x^2-\frac23x-\frac83$$

и после преобразований получаем

$$x^2-\frac{8x}{3}+\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}>2.$$

Положим

$$y=\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}, \qquad y\ge 0.$$

Тогда

$$y^2+y-2>0$$

$$(y+2)(y-1)>0.$$

Так как $$y\ge 0$$, то подходит только

$$y>1.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-\frac{8x}{3}}>1$$

$$x^2-\frac{8x}{3}>1$$

$$3x^2-8x-3>0$$

$$(3x+1)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>3.$$

С учётом области определения решения не меняются.

Ответ

а) $$\left(1;\frac54\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(3;+\infty)$$.