Упр.157 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

$$2\cos x-1\ge 0$$

$$2\cos x\ge 1$$

$$\cos x\ge \frac12$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$x\in\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right].$$

С учётом периодичности функции $$\cos x$$ получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

$$2\sin x+\sqrt2\ge 0$$

$$2\sin x\ge -\sqrt2$$

$$\sin x\ge -\frac{\sqrt2}{2}$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right].$$

С учётом периодичности функции $$\sin x$$ получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

$$2\cos x-\sqrt3\le 0$$

$$2\cos x\le \sqrt3$$

$$\cos x\le \frac{\sqrt3}{2}$$

На промежутке $$[0;2\pi]$$ это выполняется при

$$x\in\left[\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\right].$$

С учётом периодичности функции $$\cos x$$ получаем

$$x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

$$3\tg x+\sqrt3\ge 0$$

$$3\tg x\ge -\sqrt3$$

$$\tg x\ge -\frac{\sqrt3}{3}$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ это выполняется при

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right).$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$ получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$