Упр.156 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\frac{6}{\operatorname{ctg}(x)+2}=3-\operatorname{ctg}(x)$$; б) $$1+2\cos(3x)\cos(x)-\cos(2x)=0$$; в) $$\frac{15}{\sin(x)+1}=11-2\sin(x)$$; г) $$\operatorname{ctg}(x)+\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=2$$.

а) $$\frac{6}{\ctg x+2}=3-\ctg x$$

Умножим обе части на $$\ctg x+2$$:

$$6=(3-\ctg x)(\ctg x+2)$$

$$6=3\ctg x+6-\ctg^2 x-2\ctg x$$

$$\ctg^2 x-\ctg x=0$$

$$\ctg x(\ctg x-1)=0$$

Отсюда:

$$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad \ctg x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

б) $$1+2\cos 3x\cos x-\cos 2x=0$$

Используем формулу $$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B)$$:

$$1+\cos 4x+\cos 2x-\cos 2x=0$$

$$1+\cos 4x=0$$

$$\cos 4x=-1$$

$$4x=\pi+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

в) $$\frac{15}{\sin x+1}=11-2\sin x$$

Умножим на $$\sin x+1$$:

$$15=(11-2\sin x)(\sin x+1)$$

$$15=11\sin x+11-2\sin^2 x-2\sin x$$

$$15=9\sin x+11-2\sin^2 x$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда:

$$15=9y+11-2y^2$$

$$2y^2-9y+4=0$$

$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49$$

$$y_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}$$

$$y_1=\frac12,\quad y_2=4$$

Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, подходит только $$\sin x=\frac12$$.

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

г) $$\ctg x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tg\frac{x}{2}$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\ctg x+\tg\frac{x}{2}=2$$

Используем формулы

$$\ctg x=\frac{1-\tg^2\frac{x}{2}}{2\tg\frac{x}{2}},\qquad \tg\frac{x}{2}=\tg\frac{x}{2}$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда:

$$\frac{1-t^2}{2t}+t=2$$

$$\frac{1-t^2+2t^2}{2t}=2$$

$$\frac{1+t^2}{2t}=2$$

$$1+t^2=4t$$

$$t^2-4t+1=0$$

$$t=2\pm\sqrt{3}$$

Значит,

$$\tg\frac{x}{2}=2\pm\sqrt{3}$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{12}+\pi n$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$