Упр.156 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

а) $$x^2-2x+3<\sqrt{4-x^2}$$;

б) $$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac{1}{2}$$.

а) Рассмотрим неравенство $$x^2-2x+3<\sqrt{4-x^2}.$$

Так как $$4-x^2\le 4,$$ то $$\sqrt{4-x^2}\le 2.$$

С другой стороны, для квадратичной функции

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2\ge 2.$$

Значит, левая часть неравенства не меньше $$2,$$ а правая часть не больше $$2.$$ Строгое неравенство $$x^2-2x+3<\sqrt{4-x^2}$$ невозможно.

Ответ: $$\varnothing.$$

б) Решим неравенство $$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12.$$

Область определения:

$$3-x\ge 0,\quad x+1\ge 0,$$

откуда $$-1\le x\le 3.$$

Перенесём второй корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{3-x}>\sqrt{x+1}+\frac12,$$

$$3-x>x+1+\sqrt{x+1}+\frac14,$$

$$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}.$$

Теперь обе части неотрицательны на искомом промежутке, поэтому снова возведём в квадрат:

$$\left(\frac{7}{4}-2x\right)^2>x+1.$$

$$49-112x+64x^2>16x+16,$$

$$64x^2-128x+33>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=128^2-4\cdot 64\cdot 33=7936=256\cdot 31,$$

$$x=\frac{128\pm 16\sqrt{31}}{128}=1\pm \frac{\sqrt{31}}{8}.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то

$$64x^2-128x+33>0$$

при

$$x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}\quad \text{или}\quad x>1+\frac{\sqrt{31}}{8}.$$

С учётом области определения $$-1\le x\le 3$$ и проверки исходного неравенства получаем:

$$x\in \left[-1;\,1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right).$$

Ответ: $$\left[-1;\,1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right).$$