Упр.156 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

$$\text{a) } \tg x \le \sqrt{3}$$

$$\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ неравенству $$\tg x \le \sqrt{3}$$ удовлетворяют значения

$$x\in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right].$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$ получаем

$$x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi n\right],\ n\in \mathbb{Z}.$$

$$\text{б) } \tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\arctg\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ неравенству $$\tg x > -\frac{1}{\sqrt{3}}$$ удовлетворяют значения

$$x\in \left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right).$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$ получаем

$$x\in \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in \mathbb{Z}.$$

$$\text{в) } \tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ неравенству $$\tg x \ge \frac{1}{\sqrt{3}}$$ удовлетворяют значения

$$x\in \left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right).$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$ получаем

$$x\in \left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in \mathbb{Z}.$$

$$\text{г) } \tg x < -1$$

$$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ неравенству $$\tg x < -1$$ удовлетворяют значения

$$x\in \left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right).$$

С учётом периодичности функции $$\tg x$$ получаем

$$x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;-\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;-\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in \mathbb{Z}.$$