Упр.155 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$\cos(2x)-\cos(6x)=0$$; б) $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)=0$$; в) $$\sin(x)+\sin(3x)=0$$; г) $$\cos(?/2+5x)+\sin(x)=2\cos(3x)$$.
а) $$\cos 2x-\cos 6x=0$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
Тогда
$$\cos 2x-\cos 6x=-2\sin 4x\sin(-2x)=0.$$
Следовательно,
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
Отсюда
$$4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
Так как $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{4}$$ при чётных $$n$$, то общий ответ:
$$x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
Сгруппируем первые и третьи слагаемые:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$
Тогда
$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$
$$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin x+\sin 3x=0$$
Применим формулу суммы синусов:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0.$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Но второе множество входит в первое, поэтому
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)+\sin x=2\cos 3x$$
Преобразуем левую часть:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)=-\sin 5x.$$
Тогда
$$-\sin 5x+\sin x-2\cos 3x=0.$$
Используем формулу разности синусов:
$$\sin x-\sin 5x=2\cos 3x\sin(-2x)=-2\cos 3x\sin 2x.$$
Получаем
$$-2\cos 3x\sin 2x-2\cos 3x=0,$$
$$2\cos 3x(\sin 2x+1)=0.$$
Отсюда
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-1.$$
1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$
2) $$\sin 2x=-1 \Rightarrow 2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
