Упр.155 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- а) $$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$$;
б) $$\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}\ ?\ 1$$;
в) $$4x^2+12x\sqrt{1+x}\ ?\ 27(1+x)$$;
г) $$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}<35-2x$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{1-3x-\sqrt{1-4x^2}}{x}\le 0.$$
Область определения:
$$1-4x^2\ge 0,\quad x\ne 0,$$
откуда
$$|x|\le \frac12,\quad x\ne 0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x>0,$$ то
$$1-3x-\sqrt{1-4x^2}\le 0,$$
$$\sqrt{1-4x^2}\ge 1-3x.$$
После возведения в квадрат:
$$1-4x^2\ge (1-3x)^2,$$
$$13x^2-6x\le 0,$$
$$x(13x-6)\le 0.$$
С учётом $$x>0$$ получаем
$$0<x\le \frac{6}{13}.$$
Но из ОДЗ ещё $$x\le \frac12,$$ значит
$$0<x\le \frac12.$$
Если $$x<0,$$ то знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется, и получаем
$$1-3x-\sqrt{1-4x^2}\ge 0.$$
Это выполняется на всей части ОДЗ при $$x<0.$$
Итак,
$$x\in \left[-\frac12;0\right)\cup \left(0;\frac12\right].$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}\ge 1.$$
Перенесём единицу влево:
$$\frac{\sqrt{x^2-1}+1-x}{x}\ge 0.$$
Область определения:
$$x^2-1\ge 0,\quad x\ne 0,$$
то есть
$$|x|\ge 1.$$
Если $$x>0,$$ то
$$\sqrt{x^2-1}+1-x\ge 0,$$
$$\sqrt{x^2-1}\ge x-1.$$
После возведения в квадрат:
$$x^2-1\ge (x-1)^2,$$
$$2x\ge 2,$$
$$x\ge 1.$$
Если $$x<0,$$ то левая часть дроби отрицательна, а правая часть неравенства не выполняется.
Следовательно,
$$x\in [1;+\infty).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$4x^2+12x\sqrt{1+x}\ge 27(1+x).$$
Положим
$$y=\frac{\sqrt{1+x}}{x},\quad x\ne 0.$$
Тогда
$$4+12y\le 27y^2,$$
$$27y^2-12y-4\ge 0.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$D=12^2+4\cdot 27\cdot 4=576,$$
$$y_1=\frac{12-24}{54}=-\frac29,\qquad y_2=\frac{12+24}{54}=\frac23.$$
Значит,
$$y\le -\frac29 \quad \text{или} \quad y\ge \frac23.$$
Возвращаясь к $$x,$$ получаем:
1) $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}\le -\frac29.$$
Так как левая часть должна быть отрицательной, то $$x<0.$$ После преобразований:
$$9\sqrt{1+x}\ge -2x,$$
$$81(1+x)\ge 4x^2,$$
$$4x^2-81x-81\le 0.$$
Отсюда
$$x\in \left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};\frac{81+9\sqrt{97}}{8}\right],$$
и с учётом $$x<0$$ остаётся
$$x\in \left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};0\right).$$
2) $$\frac{\sqrt{1+x}}{x}\ge \frac23.$$
Тогда $$x>0,$$ и
$$3\sqrt{1+x}\ge 2x,$$
$$9(1+x)\ge 4x^2,$$
$$4x^2-9x-9\le 0.$$
Корни:
$$x_1=-\frac34,\qquad x_2=3.$$
С учётом $$x>0$$ получаем
$$0<x\le 3.$$
Итак,
$$x\in \left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};0\right)\cup (0;3].$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}+2\sqrt{x^2+7x}<35-2x.$$
Перенесём слагаемые:
$$2x+2\sqrt{x^2+7x}+\sqrt{x}+\sqrt{x+7}<35.$$
Положим
$$y=\sqrt{x}+\sqrt{x+7}.$$
Тогда
$$y^2=2x+7+2\sqrt{x^2+7x},$$
и неравенство принимает вид
$$y^2+y<42,$$
$$y^2+y-42<0.$$
Корни:
$$D=1+168=169,$$
$$y_1=-7,\qquad y_2=6.$$
Следовательно,
$$-7<y<6.$$
Так как $$y=\sqrt{x}+\sqrt{x+7}\ge 0,$$ то достаточно рассмотреть
$$\sqrt{x}+\sqrt{x+7}<6.$$
Область определения:
$$x\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$x+x+7+2\sqrt{x(x+7)}<36,$$
$$2\sqrt{x^2+7x}<29-2x.$$
Тогда
$$4(x^2+7x)<(29-2x)^2,$$
$$4x^2+28x<841-116x+4x^2,$$
$$144x<841,$$
$$x<\frac{841}{144}.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$x\in \left[0;\frac{841}{144}\right).$$
Ответ:
а) $$\left[-\frac12;0\right)\cup \left(0;\frac12\right];$$ б) $$[1;+\infty);$$ в) $$\left[\frac{81-9\sqrt{97}}{8};0\right)\cup (0;3];$$ г) $$\left[0;\frac{841}{144}\right).$$
