Упр.154 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения: а) $$\cos(4x)+2\cos^2(x)=1$$; б) $$4(1+\cos(x))=3\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$; в) $$\cos(3x)+\sin(x)\sin(2x)=0$$; г) $$4(1-\cos(x))=3\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$$.

а) $$\cos 4x+2\cos^2 x=1.$$

$$\cos 4x=1-2\cos^2 x.$$

Так как $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1,$$ получаем

$$2\cos^2 2x-1=1-2\cos^2 x.$$

Удобнее выразить через $$\cos 2x$$:

$$2\cos^2 2x+\cos 2x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

1) $$\cos 2x=-1,$$ значит

$$2x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos 2x=\frac12,$$ значит

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

б) $$4(1+\cos x)=3\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$8\cos^2\frac{x}{2}=3\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\cos\frac{x}{2}\left(8\cos\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}\right)=0.$$

Пусть $$y=\cos\frac{x}{2}$$, тогда $$\sin^2\frac{x}{2}=1-y^2$$ и

$$8y-3(1-y^2)=0,$$

$$3y^2+8y-3=0.$$

$$D=64+36=100,$$

$$y_1=\frac{-8-10}{6}=-3,\qquad y_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13.$$

Так как $$\cos\frac{x}{2}\in[-1,1],$$ значение $$y=-3$$ не подходит. Остаётся

$$\cos\frac{x}{2}=\frac13.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\qquad x=\pm 2\arccos\frac13+4\pi n.$$

в) $$\cos 3x+\sin x\sin 2x=0.$$

Используем формулу произведения:

$$\sin x\sin 2x=\frac{\cos x-\cos 3x}{2}.$$

Тогда

$$\cos 3x+\frac{\cos x-\cos 3x}{2}=0,$$

$$\cos 3x+\cos x=0.$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos 2x\cos x=0.$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

г) $$4(1-\cos x)=3\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}.$$

Так как $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2},$$ получаем

$$8\sin^2\frac{x}{2}=3\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin\frac{x}{2}\left(8\sin\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}\right)=0.$$

Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}$$, тогда $$\cos^2\frac{x}{2}=1-y^2$$ и

$$8y-3(1-y^2)=0,$$

$$3y^2+8y-3=0.$$

$$D=100,$$

$$y_1=-3,\qquad y_2=\frac13.$$

Значение $$y=-3$$ не подходит, поэтому

$$\sin\frac{x}{2}=\frac13.$$

Отсюда

$$\frac{x}{2}=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\qquad x=(-1)^n2\arcsin\frac13+2\pi n.$$

Кроме того,

$$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n,\qquad x=2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm 2\arccos\frac13+4\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=2\pi n,\; x=(-1)^n2\arcsin\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$