Упр.154 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- $$\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5$$;
- $$\sqrt{3x-x^2}<4-x$$;
- $$3\sqrt{x}-\sqrt{x+3}>1$$;
- $$x-\sqrt{1-|x|}<0$$.
а) $$\sqrt{x^2-3x+2}>2x-5.$$
Если $$2x-5<0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x,$$ для которых определён корень:
$$x^2-3x+2\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x-1)(x-2)\ge 0,$$
откуда
$$x\le 1 \;\;\text{или}\;\; x\ge 2.$$
Если $$2x-5\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:
$$x^2-3x+2>(2x-5)^2,$$
$$3x^2-17x+23<0.$$
Корни уравнения $$3x^2-17x+23=0$$:
$$D=17^2-4\cdot 3\cdot 23=13,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm \sqrt{13}}{6}.$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$3x^2-17x+23<0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{17-\sqrt{13}}{6}<x<\frac{17+\sqrt{13}}{6}.$$
С учётом условия $$2x-5\ge 0,$$ получаем
$$x\in \left[\frac52;\,\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right).$$
Итак,
$$x\in (-\infty;1]\cup \left[2;\,\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right).$$
б) $$\sqrt{3x-x^2}<4-x.$$
Для существования корня нужно:
$$3x-x^2\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x(x-3)\le 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 0\le x\le 3.$$
На этом промежутке правая часть положительна, так как $$4-x>0.$$ Тогда можно возвести в квадрат:
$$3x-x^2<(4-x)^2,$$
$$3x-x^2<16-8x+x^2,$$
$$2x^2-11x+16>0.$$
Дискриминант:
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 16=121-128=-7<0.$$
Так как $$a=2>0,$$ то $$2x^2-11x+16>0$$ при всех $$x.$$ Значит, решение определяется только областью допустимых значений:
$$x\in [0;3].$$
в) $$3\sqrt{x}-\sqrt{x+3}>1.$$
Перенесём корень:
$$3\sqrt{x}>1+\sqrt{x+3}.$$
Возведём в квадрат:
$$9x>1+2\sqrt{x+3}+x+3,$$
$$2\sqrt{x+3}<8x-4,$$
$$\sqrt{x+3}<4x-2.$$
Теперь снова возведём в квадрат:
$$x+3<(4x-2)^2,$$
$$16x^2-17x+1>0.$$
Корни уравнения $$16x^2-17x+1=0$$:
$$D=17^2-4\cdot 16\cdot 1=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{32},$$
то есть
$$x_1=\frac{1}{16},\qquad x_2=1.$$
Тогда
$$16x^2-17x+1>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<\frac{1}{16}\;\;\text{или}\;\; x>1.$$
С учётом области определения:
$$x\ge 0,\qquad x+3\ge 0,$$
и условия $$\sqrt{x+3}<4x-2,$$ которое требует $$4x-2>0,$$ получаем $$x>\frac12.$$
Пересечение даёт
$$x\in (1;+\infty).$$
г) $$x-\sqrt{1-|x|}<0.$$
Перенесём корень:
$$x<\sqrt{1-|x|}.$$
Для существования корня нужно
$$1-|x|\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; |x|\le 1.$$
На этой области правая часть неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат:
$$x^2<1-|x|,$$
$$x^2+|x|-1<0.$$
Обозначим $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+t-1<0.$$
Корни уравнения $$t^2+t-1=0$$:
$$t=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем
$$0\le t<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
Значит,
$$|x|<\frac{-1+\sqrt5}{2},$$
то есть
$$-\frac{-1+\sqrt5}{2}<x<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
С учётом области определения $$|x|\le 1$$ окончательно:
$$x\in \left[-1;\,\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$
Ответ: а) $$(-\infty;1]\cup \left[2;\,\frac{17+\sqrt{13}}{6}\right);$$ б) $$[0;3];$$ в) $$(1;+\infty);$$ г) $$\left[-1;\,\frac{-1+\sqrt5}{2}\right).$$
