Упр.153 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\sin^3(x)-\cos^3(x)=1+\frac{\sin(2x)}{2}$$; б) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1$$; в) $$\cos^4(x)-\sin^4(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; г) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1$$.

а) $$\sin^3 x-\cos^3 x=1+\frac{\sin 2x}{2}.$$

Используем формулу разности кубов:

$$\sin^3 x-\cos^3 x=(\sin x-\cos x)(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x) =(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x).$$

Тогда

$$(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)=1+\frac{\sin 2x}{2}.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)=1+\sin x\cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$(\sin x-\cos x-1)(1+\sin x\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x-\cos x=1$$

или

$$1+\sin x\cos x=0.$$

Во втором случае

$$\sin x\cos x=-1,$$

что невозможно, так как $$|\sin x\cos x|\le \frac12.$$

Решаем первое уравнение:

$$\sin x-\cos x=1.$$

Преобразуем:

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1.$$

Используем формулу:

$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta.$$

Тогда

$$2\cos\frac{\pi}{4}\cos x=1,$$

$$2\cdot \frac{\sqrt2}{2}\cos x=1,$$

$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos^4 x-\sin^4 x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Разложим разность квадратов:

$$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Значит,

$$\cos 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=1.$$

Используем формулу:

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$2\cos\frac{\pi}{6}\sin x=1,$$

$$2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\sin x=1,$$

$$\sin x=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{\sqrt3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$