Упр.153 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для каждого действительного числа $$a$$ найдите все решения уравнения:

а) $$x+\sqrt{1-x^2}=a$$;

б) $$\sqrt{x^2-1}+x=a$$.

а) Рассмотрим уравнение $$x+\sqrt{1-x^2}=a.$$

Перенесём корень в правую часть:

$$\sqrt{1-x^2}=a-x.$$

Возведём в квадрат:

$$1-x^2=a^2-2ax+x^2,$$

$$2x^2-2ax+a^2-1=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-1)=8-4a^2=4(2-a^2),$$

$$x=\frac{2a\pm 2\sqrt{2-a^2}}{4}=\frac{a\pm \sqrt{2-a^2}}{2}.$$

Чтобы эти значения подходили, нужно выполнить условие $$2-a^2\ge 0,$$ то есть $$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

Проверка исходного уравнения даёт:

• при $$-1\le a<1$$ подходит только $$x=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2};$$
• при $$1\le a<\sqrt2$$ подходят оба корня
• при $$a=\sqrt2$$ получаем единственный корень $$x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

При $$a<-1$$ и $$a>\sqrt2$$ решений нет.

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x^2-1}+x=a.$$

Перенесём корень:

$$\sqrt{x^2-1}=a-x.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2-1=a^2-2ax+x^2,$$

$$2ax=a^2+1,$$

$$x=\frac{a^2+1}{2a}.$$

Это возможно только при $$a\ne 0.$$ Кроме того, правая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной:

$$a-x=\frac{a^2+1}{2a}\ge 0.$$

Отсюда

$$\frac{a^2-1}{a}\ge 0,$$

то есть

$$-1\le a<0 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

При этих значениях $$a$$ получаем решение

$$x=\frac{a^2+1}{2a}.$$

Ответ

а) При $$a<-1$$ и $$a>\sqrt2$$ решений нет; при $$-1\le a<1$$ $$x=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2};$$ при $$1\le a<\sqrt2$$ $$x=\frac{a\pm \sqrt{2-a^2}}{2};$$ при $$a=\sqrt2$$ $$x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

б) При $$a<-1$$ и $$0\le a<1$$ решений нет; при $$-1\le a<0$$ и $$a\ge 1$$ $$x=\frac{a^2+1}{2a}.$$