Упр.152 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\cos(x)+2\cos(2x)=1$$;
   б) $$4\sin(2x)-3\sin\left(2x-\frac{?}{3}\right)=5$$;
   в) $$2\cos^2(x)+4\cos(x)=3\sin^{(x)}$$;
   г) $$\cos^2(x)+4\sin^2(x)=2\sin(2x)$$.

а) $$\cos x+2\cos 2x=1$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$\cos x+2(2\cos^2 x-1)=1$$

$$4\cos^2 x+\cos x-3=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$4y^2+y-3=0$$

$$D=1+48=49$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac34$$

Следовательно,

$$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac34$$

$$x=\pi+2\pi n,\qquad x=\pm \arccos \frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$4\sin 2x-3\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=5$$

Так как $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 2x$$, получаем:

$$4\sin 2x+3\cos 2x=5$$

Переходим к функциям $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

$$8\sin x\cos x+3(\cos^2 x-\sin^2 x)=5(\sin^2 x+\cos^2 x)$$

$$8\sin^2 x-8\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

$$4\sin^2 x-4\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

$$\left(2\sin x-\cos x\right)^2=0$$

$$2\sin x-\cos x=0$$

$$\tg x=\frac12$$

$$x=\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$2\cos^2 x+4\cos x=3\sin^2 x$$

Заменим $$\sin^2 x$$ на $$1-\cos^2 x$$:

$$2\cos^2 x+4\cos x=3-3\cos^2 x$$

$$5\cos^2 x+4\cos x-3=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$5y^2+4y-3=0$$

$$D=16+60=76=4\cdot 19$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{19}}{10}=\frac{-2\pm \sqrt{19}}{5}$$

Из них подходит только

$$\cos x=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

так как второе значение меньше $$-1$$.

Следовательно,

$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\cos^2 x+4\sin^2 x=2\sin 2x$$

Преобразуем левую и правую части:

$$\cos^2 x+4\sin^2 x-2\sin 2x=0$$

$$\cos^2 x+4\sin^2 x-4\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$, учитывая случай $$\cos x=0$$:

$$1+4\tg^2 x-4\tg x=0$$

$$4\tg^2 x-4\tg x+1=0$$

$$\left(2\tg x-1\right)^2=0$$

$$\tg x=\frac12$$

$$x=\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm \arccos \frac34+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

б) $$x=\arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

в) $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{19}-2}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

г) $$x=\arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.