Упр.152 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}}=27\cdot\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{x}}.$$

Рассмотрим уравнение

$$\frac{1+x-\sqrt{2x+x^2}}{1+x+\sqrt{2x+x^2}}=27\cdot\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{x}}.$$

Так как $$2x+x^2=x(x+2),$$ то при $$x\ge 0$$ имеем

$$\sqrt{2x+x^2}=\sqrt{x(x+2)}.$$

Преобразуем левую часть:

$$1+x=\frac{x}{2}+\frac{x+2}{2},$$

поэтому

$$\frac{1+x-\sqrt{x(x+2)}}{1+x+\sqrt{x(x+2)}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}{\sqrt2}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}{\sqrt2}\right)^2} =\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}\right)^2.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}\right)^2 =27\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}, \qquad x\ge 0.$$

Обозначим

$$a=\sqrt{x}, \qquad b=\sqrt{x+2}.$$

Тогда получаем

$$\frac{a^2}{b^2}=27\cdot\frac{b}{a}.$$

Умножим на $$a b^2$$:

$$a^3=27b^3,$$

откуда

$$a=3b.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x}=3\sqrt{x+2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x=9(x+2),$$

$$x=9x+18,$$

$$-8x=18,$$

$$x=-\frac{9}{4}.$$

Но это значение не удовлетворяет условию $$x\ge 0$$, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.