Упр.151 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$\sqrt{x^2-6x+9}>3$$; б) $$\sqrt{\frac{x^2-2x+3}{2x^2+x+1}}\geq 0$$; в) $$\sqrt{25-20x+4x^2}\geq 1$$; г) $$\sqrt{(2x-x^2+15)(3x-x^2-4)}\geq 0$$.

а) $$\sqrt{x^2-6x+9}>3$$

Так как $$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|,$$ получаем

$$|x-3|>3.$$

Тогда

$$x-3>3 \quad \text{или} \quad x-3<-3,$$

откуда

$$x>6 \quad \text{или} \quad x<0.$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(6;+\infty).$$

б) $$\frac{\sqrt{x^2-2x+3}}{2x^2+x+1}\ge 0.$$

Числитель всегда неотрицателен, так как

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0.$$

Знаменатель тоже всегда положителен, поскольку

$$2x^2+x+1>0,$$

так как его дискриминант

$$D=1-8=-7<0,$$

а старший коэффициент положителен.

Следовательно, дробь определена и неотрицательна при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

в) $$\sqrt{25-20x+4x^2}\le 1.$$

Возведём в квадрат обе части:

$$25-20x+4x^2\le 1,$$

$$4x^2-20x+24\le 0,$$

$$x^2-5x+6\le 0,$$

$$(x-2)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$2\le x\le 3.$$

Область определения выполняется при всех $$x\in\mathbb{R},$$ так как

$$25-20x+4x^2=(2x-5)^2\ge 0.$$

Ответ: $$[2;3].$$

г) $$\sqrt{2x-x^2+15}\,(3x-x^2-4)\le 0.$$

Найдём область определения:

$$2x-x^2+15\ge 0,$$

$$-x^2+2x+15\ge 0,$$

$$x^2-2x-15\le 0,$$

$$(x-5)(x+3)\le 0,$$

откуда

$$-3\le x\le 5.$$

На этой области $$\sqrt{2x-x^2+15}\ge 0,$$ поэтому произведение не превосходит нуля тогда и только тогда, когда

$$3x-x^2-4\le 0.$$

Решим неравенство:

$$-x^2+3x-4\le 0,$$

$$x^2-3x+4\ge 0.$$

Дискриминант

$$D=9-16=-7<0,$$

значит, $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x,$$ и неравенство выполняется для всех $$x$$ из области определения.

Ответ: $$[-3;5].$$