Упр.151 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

а) $$\frac{(12+x)^{1/7}}{x}+\frac{(12+x)^{1/7}}{12}=\frac{64}{3x^{1/7}}$$;

б) $$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=0$$.

а) Обозначим $$t=\sqrt[7]{x}.$$ Тогда $$x=t^7$$, и уравнение принимает вид

$$\frac{\sqrt[7]{12+x}}{x}+\frac{\sqrt[7]{12+x}}{12}=\frac{64}{3}\sqrt[7]{x}.$$

Умножим обе части на $$12x$$:

$$12\sqrt[7]{12+x}+x\sqrt[7]{12+x}=256x\sqrt[7]{x}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt[7]{12+x}\,(12+x)=256x\sqrt[7]{x}.$$

Возведём обе части в седьмую степень:

$$\sqrt[7]{(12+x)^8}=2^8\sqrt[7]{x^8}.$$

Отсюда

$$|12+x|=128|x|.$$

Рассмотрим два случая:

$$12+x=128x,$$

откуда

$$127x=12,\qquad x=\frac{12}{127};$$

$$12+x=-128x,$$

откуда

$$129x=-12,\qquad x=-\frac{4}{43}.$$

Проверка показывает, что оба значения подходят.

б) $$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$, и получаем

$$t^4-5t^2-4t+13=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$t^4-4t^2+4-t^2-4t+9=0,$$

$$\left(t^2-2\right)^2-\left(t+2\right)^2+9=0.$$

Удобнее представить выражение так:

$$x^2-5x-4\sqrt{x}+13=(x-2)^2-(\sqrt{x}+2)^2+9.$$

Так как $$x\ge 0$$, то

$$(x-2)^2\ge 0,\qquad (\sqrt{x}+2)^2\ge 4,$$

и левая часть не может обратиться в нуль. Следовательно, действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=-\frac{4}{43},\ \frac{12}{127};$$ б) корней нет.