Упр.150 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$\sqrt{x^2-5}\ge 2$$; б) $$\sqrt{(x-2)(1-2x)}>-1$$; в) $$\sqrt{x^2-16}\ge 1$$; г) $$(\sqrt{x}-3)(x^2+1)>0$$.

а) $$\sqrt{x^2-5}\ge 2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-5\ge 4$$

$$x^2\ge 9$$

$$|x|\ge 3$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$

б) $$\sqrt{(x-2)(1-2x)}>-1$$

Так как $$\sqrt{(x-2)(1-2x)}\ge 0,$$ то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение определено:

$$(x-2)(1-2x)\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$-2x^2+5x-2\ge 0$$

$$2x^2-5x+2\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},$$

$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$

Тогда

$$x\in\left[\frac12;2\right].$$

в) $$\sqrt{x^2-16}\ge 1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-16\ge 1$$

$$x^2\ge 17$$

$$|x|\ge \sqrt{17}.$$

Значит,

$$x\in(-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty).$$

г) $$\left(\sqrt{x}-3\right)(x^2+1)>0$$

Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ то нужно решить неравенство

$$\sqrt{x}-3>0.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:

$$\sqrt{x}>3,$$

$$x>9.$$

Следовательно,

$$x\in(9;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$; б) $$\left[\frac12;2\right]$$; в) $$(-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty)$$; г) $$(9;+\infty).$$