Упр.150 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt[3]{x-1}$$; б) $$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x-8}$$.

а) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{x+1},\quad b=\sqrt[3]{3x+1},\quad c=\sqrt[3]{x-1}.$$

Тогда данное уравнение имеет вид

$$a+b=c.$$

Возведём обе части в куб:

$$a^3+b^3+3ab(a+b)=c^3.$$

Подставим выражения для $$a^3$$, $$b^3$$, $$c^3$$:

$$x+1+3x+1+3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)}\sqrt[3]{x-1}=x-1.$$

После преобразований получаем

$$\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}+\sqrt[3]{\left(\frac{3x+1}{x+1}\right)^2}=-1,\quad x\ne -1.$$

Пусть

$$y=\sqrt[3]{\frac{3x+1}{x+1}}.$$

Тогда

$$y+y^2=-1,$$

$$y^2+y+1=0.$$

У этого уравнения нет действительных корней, значит, при $$x\ne -1$$ решений нет.

Проверим $$x=-1$$:

$$\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{-2}=\sqrt[3]{-2},$$

что верно.

Следовательно,

а) $$x=-1.$$

б) Пусть

$$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{x-16},\quad c=\sqrt[3]{x-8}.$$

Тогда

$$a+b=c,$$

и после возведения в куб:

$$x+(x-16)+3\sqrt[3]{x(x-16)}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}\right)=x-8.$$

Преобразуем к виду

$$3\sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}-3\sqrt[3]{\left(\frac{x-16}{x-8}\right)^2}=1,\quad x\ne 8.$$

Пусть

$$y=\sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}.$$

Тогда

$$3y^2-3y=1,$$

$$3y^2-3y-1=0.$$

Находим корни:

$$D=9+12=21,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sqrt[3]{\frac{x-16}{x-8}}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6},$$

$$\frac{x-16}{x-8}=\frac{(3\pm\sqrt{21})^3}{216}.$$

После преобразований получаем

$$x=8\pm\sqrt{\frac{432}{7}}.$$

Проверим случай $$x=8$$:

$$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{0},$$

то есть равенство выполняется.

б) $$x=8,\; x=8\pm\sqrt{\frac{432}{7}}.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$8,\; 8\pm\sqrt{\frac{432}{7}}.$$