Упр.15 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Верно ли, что сумма (произведение) чисел $$a$$ и $$b$$ является рациональным (иррациональным) числом, если:

а) $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа;

б) $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа;

в) $$a$$ — рациональное, а $$b$$ — иррациональное число?

а) Если $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, то их можно записать в виде

$$a=\frac{m}{n}, \quad b=\frac{p}{k},$$

где $$m,n,p,k$$ — целые числа, $$n \ne 0,$$ $$k \ne 0.$$ Тогда

$$ab=\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{k}=\frac{mp}{nk}\in \mathbb{Q},$$

$$a+b=\frac{m}{n}+\frac{p}{k}=\frac{mk+pn}{nk}\in \mathbb{Q}.$$

Значит, и сумма, и произведение рациональны.

б) Если $$a$$ и $$b$$ — иррациональные числа, то их сумма и произведение могут быть как рациональными, так и иррациональными. Например:

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\in \mathbb{Q},$$

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\notin \mathbb{Q},$$

$$\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2\in \mathbb{Q},$$

$$\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

Следовательно, в этом случае сумма и произведение могут быть любыми.

в) Если $$a$$ — рациональное, а $$b$$ — иррациональное число, то:

$$a+b\notin \mathbb{Q}, \qquad ab\notin \mathbb{Q}$$

при $$a\ne 0.$$ Если же $$a=0,$$ то $$ab=0\in \mathbb{Q}.$$ Поэтому в общем случае сумма рационального и иррационального чисел иррациональна, а произведение иррационально при ненулевом рациональном множителе.

Ответ: а) рациональны; б) могут быть как рациональными, так и иррациональными; в) сумма — иррациональна, произведение — иррационально при $$a\ne 0$$.