Упр.15 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какие задачи решаются при исследовании функции?
2. Проведите исследование функции:
   а) $$y=\sin(x)-2$$;
   б) $$y=-\frac{6}{x-3}$$;
   в) $$y=x^2-4x+3$$;
   г) $$y=2\cos(x)+1$$.
3. Постройте графики этих функций.

1) При исследовании функции находят:

1. область определения и область значений;
2. чётность и периодичность;
3. точки пересечения с осями координат;
4. промежутки знакопостоянства;
5. промежутки монотонности;
6. точки экстремума и значения функции в них;
7. поведение функции в особых точках.

Ход решения

2) Исследуем функции.

1. а) $$y=\sin x-2$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-3;-1], \qquad T=2\pi.$$

   $$y(0)=\sin 0-2=-2.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$-3\le y\le -1.$$ Следовательно, $$y<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, а нулей функция не имеет.

   Функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y_{\max}=-1,$$

   $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y_{\min}=-3.$$

2. б) $$y=-\frac{6}{x-3}$$

   $$D(x)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   $$y(0)=-\frac{6}{0-3}=2.$$

   $$y>0 \text{ при } x<3,\qquad y<0 \text{ при } x>3.$$

   На каждом из промежутков $$(-\infty;3)$$ и $$(3;+\infty)$$ функция возрастает.

   Асимптоты: $$x=3$$ и $$y=0.$$

3. в) $$y=x^2-4x+3$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-1;+\infty).$$

   $$y=0 \iff x^2-4x+3=0 \iff (x-1)(x-3)=0,$$

   откуда $$x_1=1,\; x_2=3.$$

   $$y(0)=3.$$

   $$y>0 \text{ при } x<1 \text{ и } x>3,\qquad y<0 \text{ при } 1<x<3.$$

   Функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$

   $$x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=2^2-4\cdot 2+3=-1.$$

4. г) $$y=2\cos x+1$$

   $$D(x)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[-1;3], \qquad T=2\pi.$$

   Функция чётная.

   $$y=0 \iff 2\cos x+1=0 \iff \cos x=-\frac12,$$

   поэтому

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$y(0)=2\cos 0+1=3.$$

   $$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),$$

   $$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Функция возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$ и убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n], \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$x_{\max}=2\pi n,\qquad y_{\max}=3,$$

   $$x_{\min}=\pi+2\pi n,\qquad y_{\min}=-1.$$

Ответ

Графики функций строятся по найденным характеристикам: для $$y=\sin x-2$$ — синусоида, сдвинутая вниз на 2; для $$y=-\dfrac{6}{x-3}$$ — гипербола с асимптотами $$x=3$$ и $$y=0$$; для $$y=x^2-4x+3$$ — парабола с вершиной $$\left(2;-1\right)$$; для $$y=2\cos x+1$$ — косинусоида с амплитудой 2 и сдвигом вверх на 1.