Упр.15 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $$n$$:
а) $$6^{2n-1}+1$$ кратно 7;
б) $$3^{3n+2}+2^{4n+1}$$ кратно 11;
в) $$4^n+15n-1$$ кратно 9;
г) $$7^{2n-1}$$ кратно 48.
Докажем утверждения методом математической индукции.
$$6^{2n-1}+1$$ кратно $$7$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$6^{2\cdot 1-1}+1=6^1+1=7,$$
то есть выражение делится на $$7$$.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ число $$6^{2k-1}+1$$ кратно $$7$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+1}+1=36\cdot 6^{2k-1}+1=35\cdot 6^{2k-1}+\bigl(6^{2k-1}+1\bigr).$$
Первое слагаемое кратно $$7$$, второе — по предположению индукции тоже кратно $$7$$. Значит, и всё выражение кратно $$7$$.
$$3^{3n+2}+2^{4n+1}$$ кратно $$11$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$3^{3\cdot 1+2}+2^{4\cdot 1+1}=3^5+2^5=243+32=275,$$
а $$275$$ делится на $$11$$.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выражение $$3^{3k+2}+2^{4k+1}$$ кратно $$11$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$3^{3(k+1)+2}+2^{4(k+1)+1} =3^{3k+5}+2^{4k+5} =3^3\cdot 3^{3k+2}+2^4\cdot 2^{4k+1}.$$
Тогда
$$3^{3k+5}+2^{4k+5} =27\cdot 3^{3k+2}+16\cdot 2^{4k+1} =11\cdot 3^{3k+2}+16\bigl(3^{3k+2}+2^{4k+1}\bigr).$$
Первое слагаемое кратно $$11$$, а второе кратно $$11$$ по предположению индукции. Следовательно, всё выражение кратно $$11$$.
$$4^n+15n-1$$ кратно $$9$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$4^1+15\cdot 1-1=18,$$
а $$18$$ делится на $$9$$.
Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ число $$4^k+15k-1$$ кратно $$9$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$4^{k+1}+15(k+1)-1 =4\cdot 4^k+15k+14 =4(4^k+15k-1)-9(5k+2).$$
Первое слагаемое кратно $$9$$ по предположению индукции, второе тоже кратно $$9$$. Значит, и всё выражение кратно $$9$$.
$$7^{2n-1}$$ кратно $$48$$.
База индукции: при $$n=1$$
$$7^{2\cdot 1-1}=7,$$
и это не кратно $$48$$.
Следовательно, в таком виде утверждение неверно.
Ответ: а), б), в) — верно; г) — неверно.
